如图所示,在△ABC中,点D是AB的中点,CE平分∠ACB,AE⊥CE

（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△A

（1）证明：设△DEC的外接圆的圆心为O.连接OE.∵∠C=30°∴∠BOE=60°（同弧上的圆周角是圆心角的一半）∵AE=EC、∠ABC=90°∴BE=2分之1AC=EC∴∠EBC=∠ECB=30°

∵△ABC中,AB=AC∴∠B=∠C又∵DE垂直于BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F∴∠BED=∠CEF∴△BED∽△CFE∴∠BDE=∠F又∵∠BDE=∠FDA∴△AFD为等腰三角形∴AD=A

证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵DE⊥BC∴∠BDE+∠B＝90,∠F+∠C＝90∴∠BDE＝∠F∵∠ADF＝∠BDE∴∠ADF＝∠F∴AD＝AF

（1）证明：∵点D是BC的中点∴BD=CD又∵AB=ACAD是公共边∴△ABD≌△ACD（2）证明：∵△ABD≌△ACD点E在AD上∴∠BAE=∠CAE又∵AB=ACAE是公共边∴△ABE≌△ACE∴

过点D作ED⊥AB因为,∠C=90°(已知)所以AC⊥BC(垂直的意义)因为AD平分∠BAC(已知)又因为AC⊥BC,ED⊥AB,垂足为E,C(已知)所以CD=DE(角平分线上任意一点到线段的两边距离

∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形，∴△EDF≌△EAF，∴∠AEF=∠DEF，∵AD是BC边上的高，∴EF∥CB，又∵∠AEF=∠B，∴∠BDE=∠DEF，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，同理，

AD=DCADC为等腰三角形,F为AC的中点,所以DF是AC的垂直平分线,所以角CDF=角ADFDE为角ADB的角平分线,角ADE=角BDE所以,角ADE+角ADF=角BDE+角CDF=180/2=9

AB=AC=2,∠A=36°→∠ABC=∠C=72°因为BD平分∠ABC→∠CBD=0.5∠ABC=36°∠A=∠CBD=36°,∠C为公共角所以△ABC∽△BDC所以CD/BC=BC/AC即CD=B

∵DC=AC=6∴BD=BC-BD=10-6=4∵E是AB的中点.∴EF是△ABD的中位线.∴EF=?BD=4/2=2

证明:在ΔABE和ΔACD中∵∠ABE=∠ACD,AE=AD,∠A=∠A∴ΔABE≌ΔACD(AAS)∴AD=AE,AB=AC∴AB-AD=AC-AE即:BD=CE在ΔBDF和ΔCEF中∵∠ABE=∠

∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×4=2，同理，S△BDE=S△ABE=12S△ABD=12×2=1，S△CDE=S△ACE=12S△ACD=12×2=

∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，∴∠EBC=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A，∵BD、CD是外角平分线，∴∠DBC=12∠EBC，∠DCB=12∠FCB，∴∠DBC

在DC上截取DE=DB,连接AE,设∠C=x,∵AB+BD=DC,DE=DB,∴CE=AB,又∵AD⊥BC,DB=DE,∴直线AD是BE的垂直平分线,∴AB=AE,∴CE=AE,∴∠B=∠AEB,∠C

∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∵∠BFA=∠BAC-∠ABE=90°-∠ABE∵∠AEF=∠BED(对顶角相等)又∵∠BED=∠ADB-∠CBF=90°-∠CBF∴∠AEF=90°-∠CBF∵BF平分

因为：CD是△ABC的高,且点D在AB上；所以：△CDB和△CDA是直角三角形,分别可得出：BC的平方=CD的平方+DB的平方(1)AC的平方=CD的平方+DA的平方(2)(1)+(2)得出BC的平方

/>∵DE垂直平分AC∴EA=EC∵AE=BC∴BB=CE∵AB=AC,∠B=∠B∴△CBE∽△ABC∴CB²=BE*CA∴AE²=BE*AB∴点E是线段AB的黄金分割点

∵CA＝CD,∴∠CAD＝∠CDA,∴∠ACB＝180°－2∠CDA.∵DA＝DB,∴∠ABC＝∠BAD,∴∠CDA＝2∠ABC,∴2∠CDA＝4∠ABC.∴∠ACB＝180°－4∠ABC.∵AB＝A

（1）∠ABD+∠BAE=90°，∠BAE+∠AEC=90°，∴∠BAD=∠ACE，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，∠BAD=∠CAEAB=CA∠ADB

∠PDB=∠PBD=45+∠PBO=45+∠DPC(∠PDB外角)所以,∠PBO=∠DPC.又BP=DPRtΔBOP≌RtΔPDE所以,BO=PE2）PE=AO=BO=OC=a,AP=xEC=DE=O