如图,mp分别为三角形中ab,ac上的点,且am=bm,ap=2cp

分别过点PQ作AB、BC的垂线PE、QF,PE交QF、QN于点G、H,QN交PM于点I.依题意易得PE、QF互相垂直,又因为MP垂直于QN,角PHI＝角QHG,所以角EPM＝角FQM,又因为PE＝QF

证明：连接MP,BM∵MP垂直AB∴AP²+MP²=AM²=MC²（勾股定理和中点AM=MC）∵MC²+BC²=MB²=MP

知识点：三角形的中线平分三角形的面积.SΔBDF=1/2SΔBDE=1/2(1/2SΔBDA)=1/2［1/2(SΔABC］=1/8SΔABC,∴SΔABC=8SΔBDF=48.再答：能帮到你，我也高

由MP,NQ分别是AB和AC的垂直平分线,∴∠B=∠PAB,∠C=∠PAC,有2∠B+2∠C+∠PAQ=180°（1）∠B+∠C+∠PAQ=126°（2）（2）×2-（1）得：∠PAQ=126×2-1

根据中垂线定理：AP=BP,AQ=CQ三角形APQ周长=AP+PQ+CQ=BP+PQ+CQ+BC=20厘米完毕（您没把图画出来,以上是在角A是钝角的情况下,只有这种情况下才有解）

∵MS⊥PQ,MP⊥PN∴∠1＋∠PMS=90°∠1＋∠QPN=90°∴∠PMS=∠QPN同理:∠MPS=∠PNQ∵MP=NP∴⊿PMS≌⊿PNQ(ASA)∴PS=QN=2.1∴MS=PQ=PS+QS

∵MP,NQ平分垂直平分AB,AC∴PA=PBQA=QB;∴BAP=∠ABC;∠CAQ=∠ACB;∵∠ABC+∠ACB=180-∠BAC=180-130=50°；∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠C

 ∵MS⊥PQ, MP⊥PN ∴∠MPS＋∠PMS=90° ∠MPS＋∠QPN=90° ∴∠PMS=∠QPN 同理:∠MPS=∠PNQ&nb

作P点关于x 的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5），∴P′（5，-5）PM=P′M，连接P′Q，则P′Q与x轴的交点应为满足QM+PM的值最小，即为M点．设P′Q所在的直线的解析式为：y=

证明：∵A、B、C、D四点共圆，∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）∵MR⊥AD、MQ⊥CD，∴M、R、D、Q四点共圆，∴∠RMN=180°-∠D；∵MP⊥B

证明：作EG//ABEG//DBEG:DB=EF:DF..(1)又EG//ABEG:AB=CE:AC因BD=CEEG:DB=AB:AC..(2)由（1）（2）得AB:AC=EF:DF

由垂直平分线性质可知令∠BAP=∠ABP=m,∠QAC=∠QCA=n;∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=m+n+∠PAQ=100（1）在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∠ABC=

因为AB垂直EF,CD垂直EF所以∠AMF=∠CNF=90°因为MP,NQ分别平分∠AMF与∠CNF所以∠PMF=1/2∠AMF∠QNF=1/2∠CNF所以∠PMF=∠QNF所以MP∥NQ（同位角相等

取AB中点E,连结ME、EP,则在直角三角形AMB中,ME=0.5AB,角MEB=90度,EP为三角形ABC中位线,EP//AC,且EP=0.5AC,角BEP=角BAC.取AC中点F,连结NF、FP,

证明：分别延长AD到E,AQ到R,使DE=AD,QR=MQ,连结BE,NR,因为D是BC中点,BD=DC,又因为DE=AD,角BDE=角ADC,所以三角形BDE全等于三角形ADC,所以BE=AC,角E

MPNQ是AB,AC的垂直平分线∠BAP=∠ABP∠CAQ=∠QAC∠PAQ=∠BAC-∠BAP-∠CAQ=∠BAC-∠ABP-∠QAC而∠ABP+∠QAC=180°-∠BAC（三角形内角和180°）

作点Q关于x轴的对称点A,则A（2,-1）,AP的距离即为所求,为5（两点之间,线段最短）

连接AC,BD,因为△AED和△BCE都是等边三角形,所以∠DEB=∠AEC=120°,EB=EC,ED=EA,所以△AEC≌△DEB,所以AC=DB,在△ADC中,因为N,M为AD,DC中点,所以M

MP=sqrt((x-5)^2+9),MQ=sqrt((x-2)^2+1)MP+MQ最小,则x=11/4得:MP=15/4,MQ=5/4,MP+MQ最小=5.