(2009•朝阳区一模)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是A
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/23 08:19:11
(2009•朝阳区一模)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB.
由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB′A′.
所以CD⊥平面ABB′A′.
又因为AB′⊂平面ABB′A′,
所以CD⊥AB′.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′.
过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.
由三垂线定理可知CE⊥AB′,
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角.
由已知可求得CD=
2,DE=
2
3,
所以tan∠CED=
CD
DE=
6
2.
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
6
2.
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补,
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
6
2.(10分)
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F.
由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C.
所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角.
在直角三角形CDE中,可知CE=
30
3,所以DF=
CD•DE
CE=
2
5
5.
在直角三角形BB′D中,可知B′D=3
2.
在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=
DF
DB′=
10
15.
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
10
15.(14分)
由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB′A′.
所以CD⊥平面ABB′A′.
又因为AB′⊂平面ABB′A′,
所以CD⊥AB′.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′.
过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.
由三垂线定理可知CE⊥AB′,
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角.
由已知可求得CD=
2,DE=
2
3,
所以tan∠CED=
CD
DE=
6
2.
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
6
2.
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补,
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
6
2.(10分)
(Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F.
由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C.
所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角.
在直角三角形CDE中,可知CE=
30
3,所以DF=
CD•DE
CE=
2
5
5.
在直角三角形BB′D中,可知B′D=3
2.
在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=
DF
DB′=
10
15.
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
10
15.(14分)
(2009•朝阳区一模)如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是A
(2009•朝阳区一模)如图,直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4,底面三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB
在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2,
在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2,P是BC′上一动点,
在三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AB=AC=AA′=2,BC=23
如图在三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AB的中点AC=BC=1 角ACB=90度 AA'=根号2
如图,直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1 =2,D、E分别
在直三棱柱ABC-A'B'C'中,角BAC=90°,AB=AC=AA'=1,D是CC'上一点
如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC-A1B1C1中,已知AC=BC=AA1=a,∠ACB=90°,F是棱BB
(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC 1 =2.
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D 是A1B1中点.
如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=