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已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CG⊥AB,垂足为G,AD平分∠CAB交CG于E,过E作EF∥AB,交B

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/24 07:25:10
已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CG⊥AB,垂足为G,AD平分∠CAB交CG于E,过E作EF∥AB,交BC于F,
AC
AB
=n
已知:如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CG⊥AB,垂足为G,AD平分∠CAB交CG于E,过E作EF∥AB,交B
(1)证明:在Rt△ADC中,
∠CDA=90°-∠1(直角三角形的两锐角互余);
同理在Rt△AEG中,
∠AEG=90°-∠2.
又∵AD平分∠CAB(已知),
∴∠1=∠2(角平分线定义),
∴∠AED=∠CDE(等量代换),
又∵∠CED=∠AED(对顶角相等),
∴∠CED=∠CDE,
∴CE=CD(等角对等边);
在△ACE和△ABD中,
∠1=∠2,∠AEC=∠ECD+∠CDE=∠ADB,
∴△ACE∽△ABD,

CE
BD=
AC
AB,

CD
BD=
AC
AB;

(2)在Rt△ABC中,
AC
AB=cos∠CAB=
3
5,
故设AC=3k,AB=5k,则由勾股定理知BC=4k;
∵由(1)知
CD
BD=
AC
AB,
∴CD=1.5k,BD=2.5k;
在Rt△ACG中,cos∠CAG=
AG
AC=cos∠CAB=
3
5,
∴AG=
9
5k,
∴CG=
12
5k(勾股定理);
又∵EF∥AB,

CE
CG=
CF
BC(平行线分线段成比例),
∵由(1)知,CD=CE,

CF
BC=
CD
CG,即
CF
4k=
1.5k

12
5k=
5
8,
∴CF=
5
2k,
∴DF=CF-CD=k,FB=BD-DF=1.5k,

DF
FB=
k
1.5k=
2
3;

(3)由(2)知,CD=BF,则BC=5.
∵AD平分∠CAB,

AG
AC=
GE
CE(角平分线定理),
又∵