已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n(数字0没出现),试问:在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 13:21:05
已知正整数n的十进制表示中,每个数字都能整除n(数字0没出现),试问:在n的十进制表示中最多会出现几个不同的数字?
已知答案是6478319232
已知答案是6478319232
其实答案不止这一种,要点的是除了0和5都会出现.
0不出现是题目要求.
而若出现5,则n被5整除,个位只能是5(0被排除了).
于是n是奇数,不能被2,4,6,8整除,此时出现的数字最多有1,3,5,7,9这5种.
所以考虑排除5,尝试让剩下的数字都出现,这样会有8种.
剩下的数字可分为4组:
① 1:n无论何时都能被1整除.
② 2,4,8:只要n能被8整除,就能被2,4整除.
此外n被8整除当且仅当其后3位能被8整除.
③ 3,6,9:在n被8整除的条件下,只要n又能被9整除,就能被3,6整除.
n被9整除当且仅当其数字和被9整除.
④ 7:与其余数字没有关联,需要单独判定.
综合起来,就整除这一点来说,只需要n被7,8,9整除即可.
当然,此外还需要相应数字在n中出现.
首先选择n的后3位,使其能被8整除.
这个基本上随便选,只是不要出现0和5.
例如可选为248.
再来选更高位的数字.
因为被9整除的条件是与数字总和相关的,可以放到之后调整.
而被7整除的条件也难以确定,所以我们不妨优先考虑使所有数字都出现.
取后8位为13679248.
13679248除以7余2.
100000000除以7余2.
于是613679248 = 6·100000000+13679248与6·2+2 = 14除以7的余数相同,即被7整除.
不妨取后9位为613679248.
613679248的数字和为46,除以9余1.
考虑在前面加上若干位的7,这样可以保持其被7整除,同时让数字和改变.
5·7+46 = 81被9整除,因此77777613679248被9整除.
可验证n = 77777613679248满足要求.
总结起来构造的过程就是:
(由后3位)保证被8整除,保证各数字出现,保证被7整除,(在保持被7整除的前提下)保证被9整除.
其实每一步的随意性都很大.
0不出现是题目要求.
而若出现5,则n被5整除,个位只能是5(0被排除了).
于是n是奇数,不能被2,4,6,8整除,此时出现的数字最多有1,3,5,7,9这5种.
所以考虑排除5,尝试让剩下的数字都出现,这样会有8种.
剩下的数字可分为4组:
① 1:n无论何时都能被1整除.
② 2,4,8:只要n能被8整除,就能被2,4整除.
此外n被8整除当且仅当其后3位能被8整除.
③ 3,6,9:在n被8整除的条件下,只要n又能被9整除,就能被3,6整除.
n被9整除当且仅当其数字和被9整除.
④ 7:与其余数字没有关联,需要单独判定.
综合起来,就整除这一点来说,只需要n被7,8,9整除即可.
当然,此外还需要相应数字在n中出现.
首先选择n的后3位,使其能被8整除.
这个基本上随便选,只是不要出现0和5.
例如可选为248.
再来选更高位的数字.
因为被9整除的条件是与数字总和相关的,可以放到之后调整.
而被7整除的条件也难以确定,所以我们不妨优先考虑使所有数字都出现.
取后8位为13679248.
13679248除以7余2.
100000000除以7余2.
于是613679248 = 6·100000000+13679248与6·2+2 = 14除以7的余数相同,即被7整除.
不妨取后9位为613679248.
613679248的数字和为46,除以9余1.
考虑在前面加上若干位的7,这样可以保持其被7整除,同时让数字和改变.
5·7+46 = 81被9整除,因此77777613679248被9整除.
可验证n = 77777613679248满足要求.
总结起来构造的过程就是:
(由后3位)保证被8整除,保证各数字出现,保证被7整除,(在保持被7整除的前提下)保证被9整除.
其实每一步的随意性都很大.
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