证明：r(AB)=r(B),则对任何可乘的矩阵M,有r(ABM)=r(BM)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 22:55:30

证明:分两步
(1) ABX=0 与 BX=0 同解
显然,BX=0 的解都是 ABX=0 的解
所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.
由已知 r(B)=r(AB)
所以两个基础解系所含向量个数相同
故两个基础解系等价
[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]
所以ABX=0的解也是BX=0的解
即有两个齐次线性方程组同解.
(2) ABMX=0 与 BMX=0 同解
显然有:BMX=0 的解都是 ABMX=0 的解
反之,设X1是ABMX=0的解
则 ABMX1=0.
即 AB(MX1)=0.MX1是ABX=0的解
由(1)知MX1也是BX=0的解
即有 BMX1=0
所以X1也是BMX=0的解
所以 (2)成立.
[同解方程组的系数矩阵的秩相同]
故 r(ABM)=r(BM).

证明：r(AB)=r(B),则对任何可乘的矩阵M,有r(ABM)=r(BM) 证明A B中有一个可逆矩阵,若A可逆,则R(AB)=R(B)=R(BA) 设n阶矩阵a可逆,则对任意的n*m矩阵B,有R(AB)=R(B) 这个对不线性代数问题：已知矩阵A为m*n,如何证明r(AB)=r(BA)=r(A)?其中B矩阵位A的转置矩阵. 设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:若r(A)=n,则r(AB)=r(B). (ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC). 设A是m×n的矩阵,B是n×p的矩阵,证明:若R(A)=n,R(AB)=R(B) 线性代数证明题,若A为列满秩矩阵,则R(AB)=R(B),试证明设A是m*n矩阵,r(A)=r,证明：存在秩为n-r的n阶矩阵B,使AB=0 怎么证明R(AB)>=R(A)+R(B)-N 证明：对任意实矩阵A,有r(ATA)=r(AAT)=r(A) A为n阶非奇异矩阵,B为n*m矩阵,证明r（AB）=r（A）