如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 13:56:40

如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线
y=ax^2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
（3）在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内（包括边界）存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.

（1）A（1,4）
由题意知,可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4
∵抛物线过点C（3,0）,
∴0=a（3-1）2+4,
解得,a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4,即y=-x2+2x+3
（2）∵A（1,4）,C（3,0）,
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6．
∵点P（1,4-t）．…（3分）
∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=（4-t²\4）-（4-t）=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2,C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG（2-t\2）=1\2•2（t-t²\4）=-1\4（t-2）2+1
当t=2时,S△ACG的最大值为1
（3）第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
根据△APE∽△ABC,知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5,解得,t=20-8根号5
第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=1\2t
,EM=2-1\2t,MQ=4-2t．
则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即（2-1\2t)2+（4-2t）2=t2
解得,t1=20\13,t2=4（不合题意,舍去）．
综上所述,t=20-8根号5或t=20\13