高二向量与椭圆综合题

高二向量与椭圆综合题

向量与椭圆的综合题
1. 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A为椭圆上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.若向量AF2=2向量F2B,向量AF1*向量AB=2分之3,求椭圆方程
【解】A(0,b),F2(c,0),F1(-c,0),设B(x,y),
则 AF2=(c,-b),F2B=(x-c,y),
由AF2=2F2B得 c=2(x-c),-b=2y,
所以B(3c/2,-b/2)
代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 （1）
又AF1*AB=(-c,-b)*(3c/2,-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2)
所以,由（1）（2）及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3,b^2=2,c^2=1,
因此,椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.
2. F1,F2分别是椭圆x²/4+y²=1的左右焦点,若P是该椭圆上的一动点,求向量pf1•pf2的最大值和最小值
【解】x²/4+y²=1的左右焦点坐标分别是F1(-√3,0),F2(√3,0).
设P(x,y),
PF1•PF2=(-√3-x,-y)•(√3-x,-y)=x²-3+y²
因为x²/4+y²=1,所以y²=1- x²/4,
PF1•PF2= x²-3+1- x²/4=-2+ 3x²/4
而-2≤x≤2,则0≤3x²/4≤3
∴PF1•PF2的最小值是-2,最大值是1
3. 椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1•向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?
【解】因为向量MF1×向量MF2=0,所以它们的夹角为90度,
因此M的轨迹是以椭圆中心为圆心,以半焦距c为半径的圆;
依题设此圆内含于椭圆,所以c1,
则b^2/c^2>1,
(b^2+c^2）/c^2=a^2/c^2>2,
所以c^2/a^2=e^2b>0)的离心率为(3^-1)/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点,若向量AF=3向量FB,则k=?
【解】做椭圆右准线,从A、B分别做准线的垂线AM、BN,垂足M、N,
做BD⊥AM,垂足D,
根据椭圆第二定义,
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3,
|AM|=3|BN|,
|MD|=|NB|,
|AD|=2|MD|,
|AD|=2|MA|/3,
又因|AF|/|AM|=√3/2,所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ,即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.
6. 椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点,为F1（-c,0）,F2（c,0）,M是椭圆上一点,满足向量F1M*向量F2M=0
(1)求离心率e的取值范围.
（2)当离心率e取得最小值时,点N（0,3）到椭圆的点的最远距离为5根号2,求此时椭圆方程.
【解】答案为：√2/2 =