神马作文网先阅读下面的材料再完成下列各题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/09/21 12:46:10
先阅读下面的材料再完成下列各题
我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．
（1）求证：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2
（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；
（3）若2x2+y2+z2=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．
我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．
（1）求证：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2
（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；
（3）若2x2+y2+z2=2，求x+y+z的最大值；
（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．
（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）≥0，
∴△=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，
即：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2，
当且仅当
a1
b1＝
a2
b2=…=
an
bn时等号成立；
（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x2+y2+z2）≥36，
∴x2+y2+z2≥
18
7；
∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为
18
7；
（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（
1
2+1+1）≥（x+y+z）2，
∵2x2+y2+z2=2，
∴（x+y+z）2≤2×
5
2=5，
∴-
5≤x+y+z≤
5，
∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为
5；
（4）∵当且仅当x=
y
2=
z
3时，x2+y2+z2取最小值，
设x=
y
2=
z
3
∴△=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，
即：（a12+a22+…+an2）•（b12+b22+…+bn2）≥（a1•b1+a2•b2+…+an•bn）2，
当且仅当
a1
b1＝
a2
b2=…=
an
bn时等号成立；
（2）根据（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，
∵x+2y+3z=6，
∴14（x2+y2+z2）≥36，
∴x2+y2+z2≥
18
7；
∴若x+2y+3z=6，则x2+y2+z2的最小值为
18
7；
（3）根据（1）可得：（2x2+y2+z2）（
1
2+1+1）≥（x+y+z）2，
∵2x2+y2+z2=2，
∴（x+y+z）2≤2×
5
2=5，
∴-
5≤x+y+z≤
5，
∴若2x2+y2+z2=2，则x+y+z的最大值为
5；
（4）∵当且仅当x=
y
2=
z
3时，x2+y2+z2取最小值，
设x=
y
2=
z
3