设{an}是正项数列,其前n项之和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 11:58:43

设{an}是正项数列,其前n项之和为Sn,并且对于所有的正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1) 求数列的前3项；（2）求数列{an}的通项公式

(1)
由题意得2Sn=[(an+2)/2]^2,且an>0.
取n=1,得2a1=[(a1+2)/2]^2,可解得a1=2;
取n=2,得2(1+a2)=[(a2+2)/2]^2,且a2=6或a2=-2(因为an>0,所以舍去);
同理取取n=3,结合an>0代入解得a3=10.
综上所述得,数列{an}的前3项分别为:2,6,10.
(2)
由题意得2Sn=[(an+2)/2]^2,且an>0.
所以2Sn-1=[(an-1+2)/2]^2,n>=2
所以2(Sn-Sn-1)==[(an+2)/2]^2-=[(an-1+2)/2]^2,
即8an=an^2+4an-(an-1)^2-4(an-1),
所以an^2-4an-(an-1)^2-4(an-1)=0,
所以(an+an-1)*(an-an-1)-4(an+an-1)=0,
所以(an+an-1)*(an-an-1-4)=0,
又因为an+an-1>0,
所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4
根据等差数列的定义,可知数列{an}是等差数列,且公差为4,首项为2.
所以an=2+(n-1)*4=4n-2.