神马作文网已知函数f（x）=lnx-ax+1−ax
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 23:29:32
已知函数f（x）=lnx-ax+
| 1−a |
| x |
f′(x)＝
1
x−a−
1−a
x2=-
ax2−x+1−a
x2=-
[ax+(a−1)](x−1)
x2（x＞0），
令g（x）=ax2-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜
1
2 时，由f′（x）=0，x1=1，x2=
1
a-1．此时
1
a-1＞1＞0，
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增；
③当a=
1
2 时，x1=x2，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于
1
a-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=
1
2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜
1
2时，函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增．
1
x−a−
1−a
x2=-
ax2−x+1−a
x2=-
[ax+(a−1)](x−1)
x2（x＞0），
令g（x）=ax2-x+1-a，
①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当0＜a＜
1
2 时，由f′（x）=0，x1=1，x2=
1
a-1．此时
1
a-1＞1＞0，
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增；
③当a=
1
2 时，x1=x2，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
④当a＜0时，由于
1
a-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
当a=
1
2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当0＜a＜
1
2时，函数f（x）在区间（0，1）和(
1
a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，
1
a−1)上单调递增．