【懂数学的高人快来吧!快来吧!】急,麻烦数学高人帮忙再详细解释一遍一道题的解答过程,谢谢
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 23:20:01
【懂数学的高人快来吧!快来吧!】急,麻烦数学高人帮忙再详细解释一遍一道题的解答过程,谢谢
如题:(文科.8)已知圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为(√2)/2b,求椭圆C的离心率.
参考解答过程为:由点F(-ae,0),点A(0,b)及b=[√(1-e²)]a得直线FA的方程为
[x/(-ae)]+[y/(【√(1-e²)】a)]=1,即[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0,∴原点O到直线FA的距离为
(√2)/2b=a√[(1-e²)/2],∴[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2],解得e=(√2)/2.故椭圆C的离心率e=(√2)/2
PS :对于该题(如此精炼)的参考过程,我看不明白╮(╯▽╰)╭!点F的坐标为什么是(-ae,0),b为什么等于[√(1-e²)]a,还有后面的诸如
“[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0.[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2].”等,(这其中的化简与转换,鄙人都不太明白是怎样得来的.╮(╯▽╰)╭悲催啊,整个解题过程貌似很复杂,需要化简很多次,可惜我的数学没学好啊!跪求数学高手帮忙再详细解释一遍该题的参考解答,急,跪谢啊!
如题:(文科.8)已知圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1(a>b>0)的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为(√2)/2b,求椭圆C的离心率.
参考解答过程为:由点F(-ae,0),点A(0,b)及b=[√(1-e²)]a得直线FA的方程为
[x/(-ae)]+[y/(【√(1-e²)】a)]=1,即[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0,∴原点O到直线FA的距离为
(√2)/2b=a√[(1-e²)/2],∴[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2],解得e=(√2)/2.故椭圆C的离心率e=(√2)/2
PS :对于该题(如此精炼)的参考过程,我看不明白╮(╯▽╰)╭!点F的坐标为什么是(-ae,0),b为什么等于[√(1-e²)]a,还有后面的诸如
“[√(1-e²)]x-ey+ae√(1-e²)=0.[ae√(1-e²)]/√(1-e²+e²)=a√[(1-e²)/2].”等,(这其中的化简与转换,鄙人都不太明白是怎样得来的.╮(╯▽╰)╭悲催啊,整个解题过程貌似很复杂,需要化简很多次,可惜我的数学没学好啊!跪求数学高手帮忙再详细解释一遍该题的参考解答,急,跪谢啊!
解释原答案:
∵e=c/a,∴c=ae,∴椭圆的左焦点坐标为F(-ae,0).
由椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,得:c=√(a^2-b^2),又c=ae,
∴ae=√(a^2-b^2),∴a^2e^2=a^2-b^2,∴b^2=a^2-a^2e^2,∴b=a√(1-e^2).
∴点A的坐标为(0,a√(1-e^2)).
∴由直线方程的截距式,得:FA的方程为x/(-ae)+y/[a√(1-e^2)]=1,
去分母,移项,得FA的一般式方程为:[√(1-e^2)]x-ey+ae√(1-e^2)=0.
∴原点O(0,0)到直线FA的距离=|ae√(1-e^2)|/[(1-e^2)+(-e)^2]=√2b/2,
∴ae√(1-e^2)=√2a√(1-e^2)/2,∴e=√2/2.
简单的解法:
S(Rt△AOF)=(1/2)|AO||FO|=(1/2)|AF| ×(√2/2)b,
显然,|AO|=b、|FO|=c、|AF|=a,∴bc=(√2/2)ab,∴c/a=√2/2.
∴e=c/a=√2/2.
∵e=c/a,∴c=ae,∴椭圆的左焦点坐标为F(-ae,0).
由椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,得:c=√(a^2-b^2),又c=ae,
∴ae=√(a^2-b^2),∴a^2e^2=a^2-b^2,∴b^2=a^2-a^2e^2,∴b=a√(1-e^2).
∴点A的坐标为(0,a√(1-e^2)).
∴由直线方程的截距式,得:FA的方程为x/(-ae)+y/[a√(1-e^2)]=1,
去分母,移项,得FA的一般式方程为:[√(1-e^2)]x-ey+ae√(1-e^2)=0.
∴原点O(0,0)到直线FA的距离=|ae√(1-e^2)|/[(1-e^2)+(-e)^2]=√2b/2,
∴ae√(1-e^2)=√2a√(1-e^2)/2,∴e=√2/2.
简单的解法:
S(Rt△AOF)=(1/2)|AO||FO|=(1/2)|AF| ×(√2/2)b,
显然,|AO|=b、|FO|=c、|AF|=a,∴bc=(√2/2)ab,∴c/a=√2/2.
∴e=c/a=√2/2.
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