20分…已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为（0,2）,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线L 与Y

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/20 16:28:19

20分…已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为（0,2）,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线L 与Y 轴交于点（0,m ）,与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且向量A P＝2向量 P B .求（1）椭圆方程（2）m 的取值范围

(1)
由题意：椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为（0,2）,知椭圆为焦点在y轴,且a=2,
又已知短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,所以a=√2 c,所以b^2=2,
所以,椭圆方程为:x^2/2+y^2/4=1；
（2）
由于P（0,m ）为直线L 与Y 轴的交点,
因此直线斜率存在,且可设为：y=kx+m其中k≠0（否则无法满足A P＝2向量 P B）,不妨设A（x1.y1),B(x2,y2)
联立方程：
y=kx+m
x^2/2+y^2/4=1
消元得：（k^2+2)x^2+2kmx+m^2-4=0
∴△=4(km)^2-4(k^2+2)*(m^2-4)>0即2k^2-m^2+4>0………①
x1+x2=-2km/（k^2+2) ……………………………②
x1*x2=(m^2-4)/(k^2+2)…………………………③
又已知：向量A P＝2向量 P B
∴（x1,y1-m)=2(x2,y2-m)
∴x1=2x2…………………………………………④
由…②…③…④式消x1、x2可得：k^2=(72-18m^2)/(m^2-36),把该式代入…①式并化简得:m^4-4m^2