(2013•威海二模)已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e].
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 19:06:01
(2013•威海二模)已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e].
(Ⅰ)若a=1,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若方程f(x)=-
(Ⅰ)若a=1,求f(x)的最大值;
(Ⅱ)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若方程f(x)=-
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(Ⅰ)若a=1,则f(x)=x+lnx,f′(x)=1+
1
x=
x+1
x,
∵x∈[1,e],∴f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=e+1;
(Ⅱ)要使x∈[1,e],f(x)≤0恒成立,只需x∈[1,e]时,f(x)max≤0,
显然当a≥0时,f(x)=ax+lnx在[1,e]上单增,
∴f(x)max=f(e)=ae+1>0,不合题意;
当a<0时,f′(x)=a+
1
x=
ax+1
x,令f′(x)=0,x=−
1
a,
当x<−
1
a时,f′(x)>0,当x>−
1
a时,f′(x)<0,
①当−
1
a≤1时,即a≤-1时,f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)max=f(1)=a<0,∴a≤-1;
②当−
1
a≥e时,即−
1
e≤a<0时,f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=ae+1≤0,a≤−
1
e,∴a=−
1
e;
③当1<−
1
a<e时,即−1<a<−
1
e时,f(x)在[1,−
1
a]上单增,f(x)在[−
1
a,e]上单减,
∴f(x)max=f(−
1
a)=−1+ln(−
1
a),
∵1<−
1
a<e,∴0<ln(−
1
a)<1,∴f(−
1
a)<0成立;
由①②③可得a≤−
1
e.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当a≤-1或a≥-
1
e时,f(x)在[1,e]上单调,不满足题意;
当-1<a<-
1
e时,fmax(x)=f(−
1
a)=-1+ln(-
1
a
1
x=
x+1
x,
∵x∈[1,e],∴f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=e+1;
(Ⅱ)要使x∈[1,e],f(x)≤0恒成立,只需x∈[1,e]时,f(x)max≤0,
显然当a≥0时,f(x)=ax+lnx在[1,e]上单增,
∴f(x)max=f(e)=ae+1>0,不合题意;
当a<0时,f′(x)=a+
1
x=
ax+1
x,令f′(x)=0,x=−
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a,
当x<−
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a时,f′(x)>0,当x>−
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a时,f′(x)<0,
①当−
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a≤1时,即a≤-1时,f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)max=f(1)=a<0,∴a≤-1;
②当−
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a≥e时,即−
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e≤a<0时,f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=ae+1≤0,a≤−
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e,∴a=−
1
e;
③当1<−
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a<e时,即−1<a<−
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e时,f(x)在[1,−
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a]上单增,f(x)在[−
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a,e]上单减,
∴f(x)max=f(−
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a)=−1+ln(−
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a),
∵1<−
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a<e,∴0<ln(−
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a)<1,∴f(−
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a)<0成立;
由①②③可得a≤−
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e.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当a≤-1或a≥-
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e时,f(x)在[1,e]上单调,不满足题意;
当-1<a<-
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e时,fmax(x)=f(−
1
a)=-1+ln(-
1
a
(2013•威海二模)已知函数f(x)=ax+lnx,x∈[1,e].
(2013•和平区二模)已知函数f(x)=lnx+x2-ax.
(2013•莱芜二模)已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=ex.
(2014•商丘二模)已知函数f(x)=lnx-x-ax,a∈R.
(2013•湖州二模)已知函数f(x)=2ax+1x+(2-a)lnx(a∈R).
(2010•沈阳二模)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2012•枣庄二模)已知函数f(x)=x−ax(a∈R),g(x)=lnx.
已知函数f(x)=lnx-ax+1-ax-1(a∈R).
已知函数f(x)=lnx-ax.
已知函数f(x)=lnx+x2+ax.