设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件y(ln2)=0的特解

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 16:12:53

∵y=e^x
∴y'=e^x
∵y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解
∴x*(e^x)+p(x)*(e^x)=x
=>p(x)=x*[(1-e^x)/(e^x)]
∴微分方程xy'+p(x)y=x就是微分方程xy'+x*[(1-e^x)/(e^x)]*y=x即y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1
设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1相应的齐次微分方程为
y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=0
=>dy/dx=-[(1-e^x)/(e^x)]*y
=>dy/y=-[(1-e^x)/(e^x)]*dx
=>∫dy/y=∫-[(1-e^x)/(e^x)]*dx
=>lnlyl=∫-[e^(-x)-1]*dx
=>lnlyl=e^(-x)+x+C
=>y=C*[e^(e^(-x))]*(e^x)
设微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)
则y'=C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[(e^(e^(-x)))*(-e^(-x))*(e^x)+ (e^(e^(-x)))*(e^x)]
=C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]
代入微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1得
C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)+C(x)*[e^(e^(-x))]*[(e^x)-1]+[(1-e^x)/(e^x)]*C(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1
=>C'(x)*[e^(e^(-x))]*(e^x)=1
=>C'(x)=e^[-e^(-x)]*e^(-x)
=>C(x)=∫e^[-e^(-x)]*e^(-x)dx
=>C(x)=-∫e^[-e^(-x)]d(-e^(-x))
=>C(x)=-e^[-e^(-x)]+C
∴微分方程y'+[(1-e^x)/(e^x)]*y=1的通解为y=[-e^[-e^(-x)]+C]*[e^(e^(-x))]*(e^x)
即y=-e^x+C*[e^(e^(-x))]*(e^x)
当x=ln2,y=0时
0=-2+C*(e^(1/2))*2
=>C=e^(-1/2)
∴满足条件y(ln2)=0的特解为y=-e^x+[e^(-1/2)]*[e^(e^(-x))]*(e^x)
好久没做了,都不太会了.

设y=e^x是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解,求此微分方程满足条件y(ln2)=0的特解微分方程y'=e^x+y满足条件y(0)=0的特解为求微分方程y'+2y=e^x满足初始条件y(0)=1/3的特解求微分方程xy’+x+y=0满足初始条件y（1）=0的特解求微分方程xy'+y+xe^x=0满足初始条件y（1）=0的特解求微分方程x^2y撇+xy=y^3满足初始条件y(1)=1的特解设y=f(x)是微分方程y''+2y'+3y=e^3x满足初始条件（即柯西条件）y(0)=y'(0)=0的特解,求极限l 求微分方程的通解特解1．y'=2x的通解2.微分方程y'=e^x-y满足y/x=1 =1＋ln2的特解是Ay=ln(e^ 求微分方程dy/dx+3xy=9x,满足条件y(0)=1的特解求微分方程dy/dx+2xy=4x,满足条件y(0)=1的特解求微分方程e^yy'-e^2x=0满足初值条件y(0)=0的特解求微分方程dy/dx=e^x满足初始条件y(0)=1的特解