一道线性代数习题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 16:15:56

一道线性代数习题

我用另一个方法证明.
由已知可得
(β1,β2,...,βr) =(α1,α2,...,αr)A (*)
其中A是r行r列的方阵, 且A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0
用分块矩阵的乘法可验证(*)式.
(*)式其实表明了: 向量组S2可由S1线性表示
容易计算 |A| = (r-1)(-1)^(r-2)
由 r > 1 所以 |A| ≠0 , A可逆.
故(*)式可写成 (β1,β2,...,βr)A^(-1) =(α1,α2,...,αr).
此式表示向量组S1可由S2线性表示.
所以向量组S1与S2等价.
所以 r(S1) = r(S2).
注: 此证明方法具有普遍性. 特别是需要求出 S1表示S2的具体表达式时特别有效,
这个具体表达式是通过计算A的逆计算出来的, 而不是观察看出来的!

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