线性变换的核与值域的和是直和的充要条件除了对应矩阵是幂等矩阵外,还有其他的情况吗?比如实对称矩阵?
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/01 15:18:29
线性变换的核与值域的和是直和的充要条件除了对应矩阵是幂等矩阵外,还有其他的情况吗?比如实对称矩阵?
两个子空间的和是直和等价于二者的交只有零向量.
核像是直和等价于: 若Y满足AY = 0, 同时存在X使Y = AX, 则有Y = 0. 等价于: 若A²X = 0, 则AX = 0.
由于AX = 0的解总是A²X = 0的解, 上述条件进一步等价于二者同解, 等价于r(A) = r(A²).
学了Jordan标准型就会知道, 这一条件等价于0特征值的Jordan块都是1阶的.
或者说0特征值的几何重数等于代数重数.
作为特例, 可对角化的矩阵的所有特征值的几何重数都等于代数重数, 因此核和像是直和.
直接证明也不难, 因为对角矩阵显然满足r(A) = r(A²), 而相似变换不改变秩.
作为特例中的特例, 实对称阵是可对角化的, 结论同样成立.
补一个证明.
命题: A为n阶方阵, 则其0特征值的几何重数等于代数重数的充要条件为r(A) = r(A²).
证明: ∵A²的特征值对应为A的特征值的平方, ∴A²和A的0特征值的代数重数相等.
∵AX = 0的解总是A²X = 0的解,
∴0对A的几何重数 ≤ 0对A²的几何重数 ≤ 0对A²的代数重数 = 0对A的代数重数.
则若0对A的几何重数 = 0对A的代数重数, 有0对A的几何重数 = 0对A²的几何重数, 可得r(A) = r(A²).
而若r(A) = r(A²), 全空间等于A的核和像的直和, 且二者均为A的不变子空间.
A的特征多项式等于在二者限制的特征多项式的乘积.
但∵A在像空间上的限制可逆, 无0特征值. ∴0对A的的代数重数 ≤ 核的维数 = 0对A的几何重数.
又0对A的几何重数 ≤ 0对A的代数重数. 故二者相等.
核像是直和等价于: 若Y满足AY = 0, 同时存在X使Y = AX, 则有Y = 0. 等价于: 若A²X = 0, 则AX = 0.
由于AX = 0的解总是A²X = 0的解, 上述条件进一步等价于二者同解, 等价于r(A) = r(A²).
学了Jordan标准型就会知道, 这一条件等价于0特征值的Jordan块都是1阶的.
或者说0特征值的几何重数等于代数重数.
作为特例, 可对角化的矩阵的所有特征值的几何重数都等于代数重数, 因此核和像是直和.
直接证明也不难, 因为对角矩阵显然满足r(A) = r(A²), 而相似变换不改变秩.
作为特例中的特例, 实对称阵是可对角化的, 结论同样成立.
补一个证明.
命题: A为n阶方阵, 则其0特征值的几何重数等于代数重数的充要条件为r(A) = r(A²).
证明: ∵A²的特征值对应为A的特征值的平方, ∴A²和A的0特征值的代数重数相等.
∵AX = 0的解总是A²X = 0的解,
∴0对A的几何重数 ≤ 0对A²的几何重数 ≤ 0对A²的代数重数 = 0对A的代数重数.
则若0对A的几何重数 = 0对A的代数重数, 有0对A的几何重数 = 0对A²的几何重数, 可得r(A) = r(A²).
而若r(A) = r(A²), 全空间等于A的核和像的直和, 且二者均为A的不变子空间.
A的特征多项式等于在二者限制的特征多项式的乘积.
但∵A在像空间上的限制可逆, 无0特征值. ∴0对A的的代数重数 ≤ 核的维数 = 0对A的几何重数.
又0对A的几何重数 ≤ 0对A的代数重数. 故二者相等.
线性变换的核与值域的和是直和的充要条件除了对应矩阵是幂等矩阵外,还有其他的情况吗?比如实对称矩阵?
线性变换在直和的基下的矩阵是对角矩阵的证明
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量除了正交外还有其他的关系吗?
线性代数 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同·
实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同
矩阵为幂等矩阵的充要条件
证明:若A和B都是n阶对称矩阵,则AB是对称矩阵的充要条件是A与B可交换
英语翻译关于幂等矩阵的值域与核摘 要本文通过幂等矩阵、投影矩阵和广义逆矩阵的有关知识,建立幂等矩阵的值域与核的关系式,再
关于线性变换和矩阵的问题
关于矩阵对应线性变换的问题,
正定矩阵一定是对称矩阵吗?但是二次型对应的矩阵即使不正定也是对称的吧
矩阵与对角矩阵相似的充要条件