已知抛物线C:y^=2px(p>0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 23:23:48
已知抛物线C:y^=2px(p>0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.
(1)若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.
(2)在(1)的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
(1)若以弦PQ为直径的圆过原点O,求p的值.
(2)在(1)的条件下,若向量FP+向量FQ=向量FR,求动点R的轨迹方程
分析:(Ⅰ)设出直线l的方程代入抛物线的方程消去x,设出P,Q的坐标,利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2,利用 OP→•OQ→=0,求得0=x1x2+y1y2,求得p,则焦点坐标可得.
(Ⅱ)设出R,利用 FP→+FQ→=FR→求得x1+x2=x+1,y1+y2=y,进而根据y12=4x1,y22=4x2和FR中点坐标,利用kPQ=kMA求得x和y的关系式,当x1=x2时,R的坐标为(7,0),也满足y2=4x-28,进而推断出y2=4x-28即为动点R的轨迹方程.
(Ⅰ)设直线l方程为x=ky+4,代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1+y2=2kp,y1y2=-8p
而 OP→•OQ→=0,
故0=x1x2+y1y2=(ky1+4)(ky2+4)-8p=k2y1y2+4k(y1+y2)+16-8p
即0=-8k2 p+8k2p+16-8p,得p=2,焦点F(1,0).
(Ⅱ)设R(x,y),由 FP→+FQ→=FR→
得(x1-1,y1)+(x2-1,y3)=(x-1,y)
所以x1+x2=x+1,y1+y2=y
而y12=4x1,y22=4x2,
可得y(y1-y2)=(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
又FR的中点坐标为 M(x+12,y2),
当x1≠x2时,利用kPQ=kMA有 4y=y1-y2x1-x2=y2x+12-4
整理得,y2=4x-28.
当x1=x2时,R的坐标为(7,0),也满足y2=4x-28.
所以y2=4x-28即为动点R的轨迹方程.
再问: 为什么设直线l方程为x=ky+4,而不是设直线l方程为y=k(x-4)
(Ⅱ)设出R,利用 FP→+FQ→=FR→求得x1+x2=x+1,y1+y2=y,进而根据y12=4x1,y22=4x2和FR中点坐标,利用kPQ=kMA求得x和y的关系式,当x1=x2时,R的坐标为(7,0),也满足y2=4x-28,进而推断出y2=4x-28即为动点R的轨迹方程.
(Ⅰ)设直线l方程为x=ky+4,代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有y1+y2=2kp,y1y2=-8p
而 OP→•OQ→=0,
故0=x1x2+y1y2=(ky1+4)(ky2+4)-8p=k2y1y2+4k(y1+y2)+16-8p
即0=-8k2 p+8k2p+16-8p,得p=2,焦点F(1,0).
(Ⅱ)设R(x,y),由 FP→+FQ→=FR→
得(x1-1,y1)+(x2-1,y3)=(x-1,y)
所以x1+x2=x+1,y1+y2=y
而y12=4x1,y22=4x2,
可得y(y1-y2)=(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
又FR的中点坐标为 M(x+12,y2),
当x1≠x2时,利用kPQ=kMA有 4y=y1-y2x1-x2=y2x+12-4
整理得,y2=4x-28.
当x1=x2时,R的坐标为(7,0),也满足y2=4x-28.
所以y2=4x-28即为动点R的轨迹方程.
再问: 为什么设直线l方程为x=ky+4,而不是设直线l方程为y=k(x-4)
已知抛物线C:y^=2px(p>0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0),且余抛物线交于P、Q两点.
已知:斜率为1的直线l过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点
已知直线l过定点A(4,0)且与抛物线C:y²=2px(p>0)交于P、Q两点,若以PQ为直径的圆恒过原点O,
已知抛物线y∧2=2px(p>0)的焦点为F,一直线L与抛物线交于A、B两点,AF+BF=8,且AB的垂直平分线恒过定点
1.抛物线C:y的平方=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线L与此抛物线C交于P,Q两点,且向量PQ=-2向量FQ
已知过抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,求证:
已知抛物线y^2=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF+BF=8,且
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的动直线L交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线相交于点Q,
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F且斜率为正的直线交其准线于点A,交抛物线于B、C两点,B在A、C之间.
已知抛物线y^2=2px(p>0),焦点为F,一直线l与抛物线交于A、B两点,且AF+BF=8,且AB的垂直平分线恒过定
.已知抛物线y^2=2PX(P>0).直线的斜率为-1,且过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,线段AB的长为3,