已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式:X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/23 01:35:53
已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式:X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2
X1、X2、X3、...、Xn是正数
X1、X2、X3、...、Xn是正数
解答如下:
证法一:均值不等式.
X1^2/(X1+X2)+(X1+X2)/4≥2根号[X1^2/(X1+X2)×(X1+X2)/4]=X1
X2^2/(X2+X3)+(X2+X3)/4≥2根号[X2^2/(X2+X3)×(X2+X3)/4]=X2
……
Xn^2/(Xn+X1)+(Xn+X1)/4≥2根号[Xn^2/(Xn+X1)×(Xn+X1)/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加,得
X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+(X1+X2+X3+...+Xn)/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即
X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥(X1+X2+X3+...+Xn)/2=1/2,得证.
证法二:柯西不等式.
(a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号(X1+X2),a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号(X1+X2),b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.
证法一:均值不等式.
X1^2/(X1+X2)+(X1+X2)/4≥2根号[X1^2/(X1+X2)×(X1+X2)/4]=X1
X2^2/(X2+X3)+(X2+X3)/4≥2根号[X2^2/(X2+X3)×(X2+X3)/4]=X2
……
Xn^2/(Xn+X1)+(Xn+X1)/4≥2根号[Xn^2/(Xn+X1)×(Xn+X1)/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加,得
X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+(X1+X2+X3+...+Xn)/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即
X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥(X1+X2+X3+...+Xn)/2=1/2,得证.
证法二:柯西不等式.
(a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号(X1+X2),a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号(X1+X2),b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.
已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式:X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3
已知x1,x2,x3∈(0,+∞),且x1+x2+x3=1.求证x1^2/(x1+x2)+x2^2/(x2+x3)+x3
不等式证明求解已知:正数x1,x2,x3……xn 满足x1+x2+x3+……+xn=1
X2/X1(X1+X2)+X3/(X1+X2)(X1+X2+X3)+.Xn/(x1+x2+...Xn-1)(X1+X2.
设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+
(x1+x2+x3+...+xn-1)(x2+x3+x4+...+xn)-(x2+x3+x4+...+xn-1)(x1+
X1+2X2-X3+X4=1
已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+
已知x1+x2+x3+.+xn的平均数为3,那么x1+2+x2+2+x3+2+.+xn+2
求线性方程组 x2-x3-x4=0 x1+x2-x3+3x4=1 x1-x2+x3+5x4=-1 x1+2x2-2x3+
证明|X1+X2+X3+X4+...+Xn+X|>=|X|-(|X1|+|X2|+...+|Xn|)
解方程组X1+X2+X3=0,2X2-X3=1,X1-X2+2X3=-1.