已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数.(1)求a、b的值;(2)若对任意的t∈
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 07:00:36
已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是奇函数.(1)求a、b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立,求k的取值范围.
(1) ∵函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0,即f(0)=(-2^0+b)/[2^(0+1)+a]=(-1+b)/(2+a)=0
∴-1+b=0,得b=1
下面取特殊值求a,譬如取x=1
则f(1)=-f(-1),即(-2^1+1)/[2^(1+1)+a]=【-2^(-1)+1】/[2^(-1+1)+a],得a=2
∴f(x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+2]=1/(2^x+1)-1/2
由函数的单调性 可得,该函数在定义域R上是单调递减函数
(2)∵对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立
∴f(t²-2t)<-f(2t²-k),即f(t²-2t)<f(-(2t²-k)),f(t²-2t)<f(-2t²+k),
又∵该函数在定义域R上是单调递减函数
∴ t²-2t > -2t²+k ,即 3t²-2t -k > 0 恒成立
也就是说,函数3t²-2t -k 的函数值恒大于0,即方程3t²-2t -k =0没有实数根
△=(-2)² -4×3×(-k)
∴f(0)=0,即f(0)=(-2^0+b)/[2^(0+1)+a]=(-1+b)/(2+a)=0
∴-1+b=0,得b=1
下面取特殊值求a,譬如取x=1
则f(1)=-f(-1),即(-2^1+1)/[2^(1+1)+a]=【-2^(-1)+1】/[2^(-1+1)+a],得a=2
∴f(x)=(-2^x+1)/[2^(x+1)+2]=1/(2^x+1)-1/2
由函数的单调性 可得,该函数在定义域R上是单调递减函数
(2)∵对任意的t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立
∴f(t²-2t)<-f(2t²-k),即f(t²-2t)<f(-(2t²-k)),f(t²-2t)<f(-2t²+k),
又∵该函数在定义域R上是单调递减函数
∴ t²-2t > -2t²+k ,即 3t²-2t -k > 0 恒成立
也就是说,函数3t²-2t -k 的函数值恒大于0,即方程3t²-2t -k =0没有实数根
△=(-2)² -4×3×(-k)
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