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来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 21:26:57
三角函数试题谁有
高中数学高考综合复习 专题十一 三角函数式的化简与求值
知识网络
三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系,主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
以三角求值为重点,同时对三角式的化简具有较高要求,主要考查：
1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用.
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用,主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题,不同某一小题）.
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能.
二、知识要点
（一）三角函数坐标定义的推论
1、三角函数值的符号
2、特殊角的三角函数值
3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
（1）课本中的公式：
（2）同角公式“全家福”
①平方关系： .
②商数关系： .
③倒数关系：
4、 诱导公式：
（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
① k•360°＋ （k∈Z）,－ ,180°± ,360°－ （共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值,等于 的同名函数值,前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号；
② 90°± ,270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值,等于 的相应余函数值,前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号.
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变,符号看象限.
（2）诱导公式的引申
；
；
.
（二）两角和与差的三角函数
1、两角和的三角函数 两角差的三角函数
令 ＝
2、倍角公式
；
＝
＝ ；
3、倍角公式的推论
推论1（降幂公式）：
；
；
.
推论2（万能公式）：
；
.
推论3（半角公式）：
；
；
.
其中根号的符号由 所在的象限决定.
三、经典例题
例1、填空：
（1）已知 的取值范围为
（2）已知 的取值范围为
分析：
（1）从已知条件分析与转化入手
①
又 ②
∴由①、②得 ,
∴应填
（2）首先致力于左右两边的靠拢：
左边＝ ①
右边＝ ②
∴由左边＝右边得
,
∴应填
点评：解本题,极易出现的错解是由①、②得 ,这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.
例2.化简或求值：
（1）
（2）
分析：
（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦,需设法在分子变换出cos20°.为此,将10°变为30°－20°后运用差角公式.
（2）对于含有清一色的两切值的三角式,除用“切化弦”外 ,运用有关正切（或余切）的公式,常常会收到良好的效果.
（1）原式＝
（2）
解法一（利用关于正切的倍角公式）：
注意到
∴
∴原式＝
＝
＝
＝
＝cot20°
解法二（利用掌握的典型关系式）：
注意到 （证明从略）
∴原式＝
＝
＝
＝cot20°
点评：根据所用公式的特证,解法一从后向前变,解法二则从前向后推,这种灵活性值得借鉴.此外,在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差,从角的这一关系式入手突破,是（1）求解成功的关键.
例3.
（1）已知 ,求 的值；
（2）已知
分析：
对于（1）注意到已知式的复杂性,考虑从化简与认识“已知”切入,以明确未知目标的变形方向；
对于（2）,注意到目标与已知的不甚亲密,考虑从认知和变形目标切入, 以准确已知的延伸方向.
（1）由已知得
∴
注意到
∴由已知得 （至此,目标的变形方向明确）
于是有 原式＝
＝
（2）由已知得 原式＝
＝
＝ ①
（至此寻求的目标明确）
又∵
∴
∴ ②
于是②代入①得,原式＝ .
点评：（1）从化简认知“已知”切入,（2）从化简认识“目标”切入,具体情况具体分析,很好地体现了解题的灵活性.
例4.
（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系,和差（为特殊角）关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.
（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式： （和差与倍半的综合关系）
∴
＝ ①
∵
∴
∴ ②
③
∴将②③代入①得
（2）注意到这里有关各角的关系式：
（和差与倍半的综合关系）
∴
＝ ①
∵
∴
∴
又 ②
∴ ③
∴将②③代入①得
于是有 .
（3）注意到这里有关各角之间的关系式
∴
∴ ①
∵
∴
又 ②
∴ ③
∴将②③代入①得 ,
故得
（4）
解法一（从寻找两角 与 的联系切入）：
由已知得： ①
∵
∴ ②
③
此时注意到 在 内单调递增.
∴由①②③得
∴
于是得 .
解法二（从已知式的化简切入）
由已知得
④
∵
∴
∴由④得 ⑤
于是再由 及⑤得 .
点评：
对于（1）（2）,侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系；
对于（3）,侧重特殊角来建立有关各角的关系式；
对于（4）,既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值 未知三角函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值 有关角的量值 未知三角函数值
例5、
(1)设
（2）设
分析：（1）注意到未知式的复杂,考虑从化简和认知目标切入,以明确已知条件的延伸方向：
原式＝ ,故解题从求 突破.
（2）在分析与变形目标中发现上,下面两式的联系：
原式＝ ,故解题从求 突破.
（1）原式＝ ①
∵ ∴
∴由 得
∴ ②
∴ ③
④
于是将②③④代入①得 原式＝
（2）原式＝ ⑤
∵ ∴
∴由 得
∴ ⑥
又注意到 ⑦
∴将⑥⑦代入⑤得,原式＝
点评：（1）（2）两题的条件与目标相似,此时解题可谓“仁者见仁,智者见智”,不同的关注点,引出不同的切入点和突破口.
例6、
（1）已知 , 且
（2）已知
（3）已知
分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决.
对于（1）着眼于目标 ,故从求 切入；
对于（2）着眼于目标 ,故从求 切入与突破；
对于（3）,由已知导出 的函数值,方向不明,此时注意到 ,故转而考虑从寻觅 的方程与求解入手.
（1）∵ , ①
②
则①2＋②2得
∴ ③
又
此时注意到①中 ,
故得 ④
于是由③④得
因此有
点评1：本题容易引发的错解为由③得 ,因而有 ,错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值,而未能利用已知数据的符号.事实上,三角条件求值的特色之一,是在求解过程中常常将已知数据的绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一“分开使用”的示范.
（2） ①
由 ②
③
∴②2＋③2得
∴ ④
又③2－②2得
⑤
∴④代入⑤得 ⑥
于是将④⑤代入①得,原式＝
（3）由 ①
∴
又由 ②
∴将①②联立方程组,解得
∴
点评2：求解（2）（3）的共同之处,是首先认知目标,而后有的放矢地去求索,认知目标以明确寻求的方向,此为条件求值的基本原则；不过,当目标有不同的“面孔”时,需仔细斟酌与选择追求的对象.
四、高考真题
（一）选择题
1、（2005江苏卷）若
B. C. D.
分析：由
∴
∴应选A.
2、（2005浙江卷）已知k
知识网络
三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系,主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列
一、高考考点
以三角求值为重点,同时对三角式的化简具有较高要求,主要考查：
1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用.
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用,主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题,不同某一小题）.
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能.
二、知识要点
（一）三角函数坐标定义的推论
1、三角函数值的符号
2、特殊角的三角函数值
3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）
（1）课本中的公式：
（2）同角公式“全家福”
①平方关系： .
②商数关系： .
③倒数关系：
4、 诱导公式：
（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角
① k•360°＋ （k∈Z）,－ ,180°± ,360°－ （共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值,等于 的同名函数值,前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号；
② 90°± ,270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值,等于 的相应余函数值,前面放上一个把 看作锐角时原函数值的符号.
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变,符号看象限.
（2）诱导公式的引申
；
；
.
（二）两角和与差的三角函数
1、两角和的三角函数 两角差的三角函数
令 ＝
2、倍角公式
；
＝
＝ ；
3、倍角公式的推论
推论1（降幂公式）：
；
；
.
推论2（万能公式）：
；
.
推论3（半角公式）：
；
；
.
其中根号的符号由 所在的象限决定.
三、经典例题
例1、填空：
（1）已知 的取值范围为
（2）已知 的取值范围为
分析：
（1）从已知条件分析与转化入手
①
又 ②
∴由①、②得 ,
∴应填
（2）首先致力于左右两边的靠拢：
左边＝ ①
右边＝ ②
∴由左边＝右边得
,
∴应填
点评：解本题,极易出现的错解是由①、②得 ,这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.
例2.化简或求值：
（1）
（2）
分析：
（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦,需设法在分子变换出cos20°.为此,将10°变为30°－20°后运用差角公式.
（2）对于含有清一色的两切值的三角式,除用“切化弦”外 ,运用有关正切（或余切）的公式,常常会收到良好的效果.
（1）原式＝
（2）
解法一（利用关于正切的倍角公式）：
注意到
∴
∴原式＝
＝
＝
＝
＝cot20°
解法二（利用掌握的典型关系式）：
注意到 （证明从略）
∴原式＝
＝
＝
＝cot20°
点评：根据所用公式的特证,解法一从后向前变,解法二则从前向后推,这种灵活性值得借鉴.此外,在（1）中将10°变为特殊角30°与相关角20°的差,从角的这一关系式入手突破,是（1）求解成功的关键.
例3.
（1）已知 ,求 的值；
（2）已知
分析：
对于（1）注意到已知式的复杂性,考虑从化简与认识“已知”切入,以明确未知目标的变形方向；
对于（2）,注意到目标与已知的不甚亲密,考虑从认知和变形目标切入, 以准确已知的延伸方向.
（1）由已知得
∴
注意到
∴由已知得 （至此,目标的变形方向明确）
于是有 原式＝
＝
（2）由已知得 原式＝
＝
＝ ①
（至此寻求的目标明确）
又∵
∴
∴ ②
于是②代入①得,原式＝ .
点评：（1）从化简认知“已知”切入,（2）从化简认识“目标”切入,具体情况具体分析,很好地体现了解题的灵活性.
例4.
（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
分析：已知某一个（或两个）角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.上述角的关系主要有互余（或互补）关系,和差（为特殊角）关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.
（1）注意到这里目标中的角与已知式中的角的关系式： （和差与倍半的综合关系）
∴
＝ ①
∵
∴
∴ ②
③
∴将②③代入①得
（2）注意到这里有关各角的关系式：
（和差与倍半的综合关系）
∴
＝ ①
∵
∴
∴
又 ②
∴ ③
∴将②③代入①得
于是有 .
（3）注意到这里有关各角之间的关系式
∴
∴ ①
∵
∴
又 ②
∴ ③
∴将②③代入①得 ,
故得
（4）
解法一（从寻找两角 与 的联系切入）：
由已知得： ①
∵
∴ ②
③
此时注意到 在 内单调递增.
∴由①②③得
∴
于是得 .
解法二（从已知式的化简切入）
由已知得
④
∵
∴
∴由④得 ⑤
于是再由 及⑤得 .
点评：
对于（1）（2）,侧重和差与倍半关系导出有关角的等量关系；
对于（3）,侧重特殊角来建立有关各角的关系式；
对于（4）,既展示了三角条件求值的一般途径：已知三角函数值 未知三角函数值；又展示了三角条件求值的特殊途径：已知三角函数值 有关角的量值 未知三角函数值
例5、
(1)设
（2）设
分析：（1）注意到未知式的复杂,考虑从化简和认知目标切入,以明确已知条件的延伸方向：
原式＝ ,故解题从求 突破.
（2）在分析与变形目标中发现上,下面两式的联系：
原式＝ ,故解题从求 突破.
（1）原式＝ ①
∵ ∴
∴由 得
∴ ②
∴ ③
④
于是将②③④代入①得 原式＝
（2）原式＝ ⑤
∵ ∴
∴由 得
∴ ⑥
又注意到 ⑦
∴将⑥⑦代入⑤得,原式＝
点评：（1）（2）两题的条件与目标相似,此时解题可谓“仁者见仁,智者见智”,不同的关注点,引出不同的切入点和突破口.
例6、
（1）已知 , 且
（2）已知
（3）已知
分析：不同的矛盾需用不同的方法来解决.
对于（1）着眼于目标 ,故从求 切入；
对于（2）着眼于目标 ,故从求 切入与突破；
对于（3）,由已知导出 的函数值,方向不明,此时注意到 ,故转而考虑从寻觅 的方程与求解入手.
（1）∵ , ①
②
则①2＋②2得
∴ ③
又
此时注意到①中 ,
故得 ④
于是由③④得
因此有
点评1：本题容易引发的错解为由③得 ,因而有 ,错解的根源在于解题中仅利用已知数据的绝对值,而未能利用已知数据的符号.事实上,三角条件求值的特色之一,是在求解过程中常常将已知数据的绝对值（或本身）与已知数据的符号分开（或重复）使用.本例的解答便是这一“分开使用”的示范.
（2） ①
由 ②
③
∴②2＋③2得
∴ ④
又③2－②2得
⑤
∴④代入⑤得 ⑥
于是将④⑤代入①得,原式＝
（3）由 ①
∴
又由 ②
∴将①②联立方程组,解得
∴
点评2：求解（2）（3）的共同之处,是首先认知目标,而后有的放矢地去求索,认知目标以明确寻求的方向,此为条件求值的基本原则；不过,当目标有不同的“面孔”时,需仔细斟酌与选择追求的对象.
四、高考真题
（一）选择题
1、（2005江苏卷）若
B. C. D.
分析：由
∴
∴应选A.
2、（2005浙江卷）已知k