神马作文网一个二阶变系数齐次线性微分方程的解法
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 17:28:37
一个二阶变系数齐次线性微分方程的解法
有一个方程可以写为y"+(a+bx)y=0,其中a,b均为常数,求y的特解.通解更好 最好能把推导的过程也简单说一下.因为我真的是数学小白
有一个方程可以写为y"+(a+bx)y=0,其中a,b均为常数,求y的特解.通解更好 最好能把推导的过程也简单说一下.因为我真的是数学小白
用幂级数法：
设y=c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...
则y'=c1+2c2x+3c3x^2+...+ncnx^(n-1)
y"=2c2+6c3x+12c4x^2+...+n(n-1)cnx^(n-2)+..
(a+bx)y=ay+bxy=(ac0+ac1x+ac2x^2+...)+(bc0x+bc1x^2+bc2x^3+...)
代入原方程得：
(2c2+ac0)+(6c3+ac1+bc0)x+(12c4+ac2+bc1)x^2+...+[n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)]x^(n-2)+..=0
每项系数都为0,并以c0,c1为任意常数,得：
2c2+ac0=0, 得c2=-ac0/2
6c3+ac1+bc0=0, 得c3=-(ac1+bc0)/6
12c4+ac2+bc1=0, 得c4=-(ac2+bc1)/12=-(-a^2c0/2+bc1)/12
.
n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)=0, 这样可以得到每一项cn.
再问： 那最后能给出解的形式吗？
再答： 最后就是上面幂级数的形式呀。
设y=c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...
则y'=c1+2c2x+3c3x^2+...+ncnx^(n-1)
y"=2c2+6c3x+12c4x^2+...+n(n-1)cnx^(n-2)+..
(a+bx)y=ay+bxy=(ac0+ac1x+ac2x^2+...)+(bc0x+bc1x^2+bc2x^3+...)
代入原方程得：
(2c2+ac0)+(6c3+ac1+bc0)x+(12c4+ac2+bc1)x^2+...+[n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)]x^(n-2)+..=0
每项系数都为0,并以c0,c1为任意常数,得：
2c2+ac0=0, 得c2=-ac0/2
6c3+ac1+bc0=0, 得c3=-(ac1+bc0)/6
12c4+ac2+bc1=0, 得c4=-(ac2+bc1)/12=-(-a^2c0/2+bc1)/12
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n(n-1)cn+ac(n-2)+bc(n-3)=0, 这样可以得到每一项cn.
再问： 那最后能给出解的形式吗？
再答： 最后就是上面幂级数的形式呀。