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如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点.PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 23:45:01
如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点.PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的最小值为______.
如图,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点.PE⊥BC,PF⊥CA,则线段EF长的
法一:设EC=y,FC=x.
∵∠C=90°,PE⊥BC,PF⊥CA,
∴四边形EPFC是矩形,
∴EP=FC=x;
∵AC=1,BC=2,
∴BE=2-y,
∵∠C=90°,PE⊥BC,
∴PE∥AC,
∴∠BPE=∠A,
又∵∠B=∠B,

2−y
2=
x
1,即y=2(1-x);
∵EF2=x2+y2
∴EF2=5(x-
4
5)2+
4
5(0<x<1),
∴当x=
4
5时,EF最小值=

4
5=
2
5
5.
法二:连接PC,
∵PE⊥BC,PF⊥CA,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四边形ECFP是矩形,
∴EF=PC,
∴当PC最小时,EF也最小,
即当CP⊥AB时,PC最小,
∵AC=1,BC=2,
∴AB=
5,
∴PC的最小值为:
AC•BC
AB=
2
5
5.
∴线段EF长的最小值为
2
5
5.