神马作文网二面角问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 16:27:00
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解题思路： 分析
解题过程：
解析：
设正方体的棱长为1，
（1）方法一：几何法
连接BD，交AC于点O，连接OB1，
则由正方体性质可知，AC⊥平面BOB1，
得OB1⊥AC，OB⊥AC，
∴∠B1OB就是二面角B1—AC—B的平面角.
在直角△B1BO中，BB1=1，OB=√2/2，
则OB1=√6/2，
∴cos∠B1OB=OB/OB1=√3/3，
即二面角B1—AC—B的平面角的余弦值为√3/3.
方法二：向量法
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
系.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
易知平面ABC的一个法向量m=(0，0，1)，
设平面AB1C的一个法向量为n=(x，y，z)，
则由n·AB1=0，n·AC=0，AB1=(0，1，1)，AC=(-1，1，0)，
得y+z=0且-x+z=0，令x=1，得z=1，n=(1，-1，1)，
∴cos<m，n>=m·n/(|m||n|)=1/√3=√3/3，
由图可知，二面角B1—AC—B的平面角的余弦值为√3/3.
（2）同（1）中解法可知，二面角D—AC—B1的平面角的余弦值为-√3/3.
最终答案：略
解题过程：
解析：
设正方体的棱长为1，
（1）方法一：几何法
连接BD，交AC于点O，连接OB1，
则由正方体性质可知，AC⊥平面BOB1，
得OB1⊥AC，OB⊥AC，
∴∠B1OB就是二面角B1—AC—B的平面角.
在直角△B1BO中，BB1=1，OB=√2/2，
则OB1=√6/2，
∴cos∠B1OB=OB/OB1=√3/3，
即二面角B1—AC—B的平面角的余弦值为√3/3.
方法二：向量法
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标
系.
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
易知平面ABC的一个法向量m=(0，0，1)，
设平面AB1C的一个法向量为n=(x，y，z)，
则由n·AB1=0，n·AC=0，AB1=(0，1，1)，AC=(-1，1，0)，
得y+z=0且-x+z=0，令x=1，得z=1，n=(1，-1，1)，
∴cos<m，n>=m·n/(|m||n|)=1/√3=√3/3，
由图可知，二面角B1—AC—B的平面角的余弦值为√3/3.
（2）同（1）中解法可知，二面角D—AC—B1的平面角的余弦值为-√3/3.
最终答案：略