在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 10:03:06
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCD-A1B1C1D1,且这个几何体的体积为
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3 |
证明:(1)证法一:如图,连接D1C,
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴A1D1∥BC且A1D1=BC.
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥D1C.
∵A1B⊄平面CDD1C1,D1C⊂平面CDD1C1,
∴A1B∥平面CDD1C1.
证法二:∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴平面A1AB∥平面CDD1C1.
∵A1B⊂平面A1AB,A1B⊄平面CDD1C1.
∴A1B∥平面CDD1C1.
(2)设A1A=h,∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为
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3,
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=
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3,
即SABCD×h-
1
3×S△A1B1C1×h=
40
3,
即2×2×h-
1
3×
1
2×2×2×h=
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3,解得h=4.
∴A1A的长为4.
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,
过Q作QP∥CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.(7分)
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,
∴QP∥A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,
∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P⊂平面A1PQC1,
∴A1P⊥C1D.(10分)
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD,
∴
C1Q
CD=
D1C1
C1C,
∴C1Q=1
又∵PQ∥BC,
∴PQ=
1
4BC=
1
2.
∵四边形A1PQD1为直角梯形,且高D1Q=
5,
∴A1P=
(2−
1
2)2+5=
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴A1D1∥BC且A1D1=BC.
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥D1C.
∵A1B⊄平面CDD1C1,D1C⊂平面CDD1C1,
∴A1B∥平面CDD1C1.
证法二:∵ABCD-A1B1C1D1是长方体,
∴平面A1AB∥平面CDD1C1.
∵A1B⊂平面A1AB,A1B⊄平面CDD1C1.
∴A1B∥平面CDD1C1.
(2)设A1A=h,∵几何体ABCD-A1C1D1的体积为
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3,
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=
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即SABCD×h-
1
3×S△A1B1C1×h=
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3,
即2×2×h-
1
3×
1
2×2×2×h=
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3,解得h=4.
∴A1A的长为4.
(3)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,
过Q作QP∥CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.(7分)
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,
∴QP∥A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,
∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P⊂平面A1PQC1,
∴A1P⊥C1D.(10分)
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD,
∴
C1Q
CD=
D1C1
C1C,
∴C1Q=1
又∵PQ∥BC,
∴PQ=
1
4BC=
1
2.
∵四边形A1PQD1为直角梯形,且高D1Q=
5,
∴A1P=
(2−
1
2)2+5=
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,DD1的中点,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方
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