双曲线的方程中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为根号2,则双曲线方程为多少?希

双曲线的方程
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为根号2,则双曲线方程为多少?希望也帮我复习一下知识点,我这个版块的知识点忘记了.

x2/2-y2/2=1
[编辑本段]·双曲线的第一定义
数学上指一动点移动于一个平面上,与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a1}表示的点集是双曲线. 注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.
3.标准方程
设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d, 则由 |MF|/d=e>1. 推导出的双曲线的标准方程为 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程. 而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为: (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
[编辑本段]·双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）. 2、对称性：关于坐标轴和原点对称. 3、顶点：A(-a,0), A’(a,0).同时 AA’叫做双曲线的实轴且∣AA’│=2a. B(0,-b), B’(0,b).同时 BB’叫做双曲线的虚轴且│BB’│=2b. 4、渐近线： 焦点在x轴：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e） 令θ=0,得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI,得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标. 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 （注意化简一下） 直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴. 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】 则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】 带入上式： ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 5、离心率： 第一定义： e=c/a 且e∈（1,+∞). 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点（│PF│）/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a│ 左焦半径：r=│ex+a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 8、共轭双曲线 双曲线S’的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S’的虚轴是双曲线S的实轴时,称双曲线S’与双曲线S为共轭双曲线. 几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S’：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点：（1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c 10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离,θ为弦与X轴夹角] 12、弦长公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) 双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢? 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23,定点F1、F2是两个按钉,MN是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M移动时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|,否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线． 2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上,能否得到双曲线? 请学生回答,不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大? 请学生回答,不定：当M在双曲线右支上时,|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时,|MF1|＜|MF2|． 问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|? 请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||． 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|? 请学生回答,应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时,无轨迹． 3．定义 在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距． 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记． (三)双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导： (1)建系设点 取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系． 设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c＞0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数． (2)点的集合 由定义可知,双曲线就是集合： P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}． (3)代数方程 (4)化简方程(由学生演板) 将这个方程移项,两边平方得： 化简得： 两边再平方,整理得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．) 由双曲线定义,2c＞2a 即c＞a,所以c2-a2＞0． 设c2-a2=b2(b＞0),代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2． 这就是双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)： 教师指出： (1)双曲线标准方程中,a＞0,b＞0,但a不一定大于b； (2)如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上． (3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2． (四)练习与例题 1．求满足下列的双曲线的标准方程： 焦点F1(-3,0)、F2(3,0),且2a=4； 3．已知两点F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12,其他条件不变,会出现什么情况? 由教师讲 按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42． 因为2a=12,2c=10,且2a＞2c． 所以动点无轨迹． (五)小结 1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 3．图形(见图2-25)： 4．焦点：F1(-c,0)、F2(c,0)；F1(0,-c)、F2(0,c)． 5．a、b、c的关系：c2=a2+b2；c=a2+b2． 五、布置作业 1．根据下列条件,求双曲线的标准方程： (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2)； 3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n),求其焦点坐标． 作业答案： 2．由(1+k)(1-k)＜0解得：k＜-1或k＞1
[编辑本段]·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c