神马作文网谁有几何数学智力题?难题也可以
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 19:54:43
谁有几何数学智力题?难题也可以
别是无解的!
别是无解的!
若P为正方形内一点 且PA：PB：PC＝1；2；3 求证角APB＝135度
本题用旋转法可以巧解.
证明：
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=2,QA=PC=3,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8,
另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2,由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°.
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°.
在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,M为BC中点,D为BM上任意一点,作DF⊥AB于F点,DE⊥AC于E点,连接MF、ME、EF.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
连接AM
因为AB=AC（已知）
所以∠B=∠C（等边对等角）
因为∠A+∠B+∠C=180（三角形内角和为180度） 因为∠A=90（已知）
所以∠B=∠C=45（等式性质）
因为DE⊥AB（已知）
所以∠BED=∠AED=90（垂直定义）
因为∠B+∠BED+∠EDB=180（三角形内角和为180度）
所以∠BDE=45=∠B（等式性质）
所以BE=DE（等角对等边）
因为DF⊥AC（已知）
所以∠AFD=90（垂直定义）
因为∠AFD=∠AED=∠EAF=90（已证）
所以四边形AEDF为矩形（有三个内角为90度的四边形是矩形）
所以AF=DE（矩形对边相等）
因为BE=DE（已证）
所以AF=BE（等量代换）
因为M是BC中点（已知） AB=AC（已知）
所以∠AMB=∠AMC=90 ∠BAM=∠CAM=∠B=45（等腰三角形底边高线、底边中线,顶角角平分线三线重合）
因为∠BAC=90（已知）
所以AM=BM=CM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
在△AFM与△BEM中
AF=BE（已证）
∠FAM=∠B（已证）
AM=BM（已证）
所以△AFM≌△BEM（边角边）
所以EM=FM（全等三角形对应边相等） AMF=BME（全等三角形对应角相等）
因为∠BME+∠AME=∠BMA=90（已证）
所以∠AMF+∠AME=∠EMF=90（等量代换）
因为∠EMF=90 EM=FM（已证）
所以三角形MEF为等腰直角三角形
本题用旋转法可以巧解.
证明：
将△PBC绕B点逆时针旋转90°至BC与AB重合,得到一个新的△AQB,可知：BQ=PB=2,QA=PC=3,∠ABQ=∠PBC,
由于∠PBC+∠ABP=90°,所以∠PBQ=∠ABQ+∠ABP=∠PBC+∠ABP=90°,则△PBQ是一个等腰直角三角形,
故：∠BPQ=45°,
由勾股定理,得:PQ^2=PB^2+BQ^2=2^2+2^2=8,
另外,在△APQ中,PA^2+PQ^2=1^2+8=9=QA^2,由勾股定理知：△APQ是一个以∠APQ为直角的直角三角形,即∠APQ=90°.
综上得：∠APB=∠APQ+∠BPQ=90°+45°=135°.
在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90°,M为BC中点,D为BM上任意一点,作DF⊥AB于F点,DE⊥AC于E点,连接MF、ME、EF.试判断三角形MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
连接AM
因为AB=AC（已知）
所以∠B=∠C（等边对等角）
因为∠A+∠B+∠C=180（三角形内角和为180度） 因为∠A=90（已知）
所以∠B=∠C=45（等式性质）
因为DE⊥AB（已知）
所以∠BED=∠AED=90（垂直定义）
因为∠B+∠BED+∠EDB=180（三角形内角和为180度）
所以∠BDE=45=∠B（等式性质）
所以BE=DE（等角对等边）
因为DF⊥AC（已知）
所以∠AFD=90（垂直定义）
因为∠AFD=∠AED=∠EAF=90（已证）
所以四边形AEDF为矩形（有三个内角为90度的四边形是矩形）
所以AF=DE（矩形对边相等）
因为BE=DE（已证）
所以AF=BE（等量代换）
因为M是BC中点（已知） AB=AC（已知）
所以∠AMB=∠AMC=90 ∠BAM=∠CAM=∠B=45（等腰三角形底边高线、底边中线,顶角角平分线三线重合）
因为∠BAC=90（已知）
所以AM=BM=CM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
在△AFM与△BEM中
AF=BE（已证）
∠FAM=∠B（已证）
AM=BM（已证）
所以△AFM≌△BEM（边角边）
所以EM=FM（全等三角形对应边相等） AMF=BME（全等三角形对应角相等）
因为∠BME+∠AME=∠BMA=90（已证）
所以∠AMF+∠AME=∠EMF=90（等量代换）
因为∠EMF=90 EM=FM（已证）
所以三角形MEF为等腰直角三角形