神马作文网极限除法运算证明中的定义域问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 05:00:06
极限除法运算证明中的定义域问题
设limf(x)=A,limg(x)=B(B≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=A/B
证明：只要证明f(x)/g(x)-A/B是无穷小即可.
由于limf(x)=A,limg(x)=B,可设f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a和b是x→x0时的无穷小
f(x)/g(x)-A/B=(A+a)/(B+b)-A/B=(Bb-Aa)/[B(B+b)]
因为a,b是无穷小,A,B是常数,所以Bb-Aa是无穷小,因此只要证明1/B(B+b)有界.
因为limg(x)=B≠0,所以存在点x0的某个去心邻域U(x0),当x∈U(x0)时,
│g(x)│>│B│/2,所以1/│B(B+b)│=1/(│B│*│g(x)│)
设limf(x)=A,limg(x)=B(B≠0),（x→x0)求证limf(x)/g(x)=A/B
证明：只要证明f(x)/g(x)-A/B是无穷小即可.
由于limf(x)=A,limg(x)=B,可设f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a和b是x→x0时的无穷小
f(x)/g(x)-A/B=(A+a)/(B+b)-A/B=(Bb-Aa)/[B(B+b)]
因为a,b是无穷小,A,B是常数,所以Bb-Aa是无穷小,因此只要证明1/B(B+b)有界.
因为limg(x)=B≠0,所以存在点x0的某个去心邻域U(x0),当x∈U(x0)时,
│g(x)│>│B│/2,所以1/│B(B+b)│=1/(│B│*│g(x)│)
跟函数定义域没什么关系的.
这里只是用到了函数极限的性质——局部有界性
函数可以无界,但是只要在某个临域有界就可以得出结果
这里只是用到了函数极限的性质——局部有界性
函数可以无界,但是只要在某个临域有界就可以得出结果