如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究P
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 10:08:41
如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究PA与PE的数量关系.
PE⊥AP交CD于E
PE⊥AP交CD于E
结论:PA=PE
证明:过点P作PM⊥AC,垂足为M,
过点P作PN⊥CD,垂足为N.
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠ACB(等边对等角)
∵CD‖BA(已知)
∴∠B=∠BCN(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠BCN(等量代换)
又∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和180°)
且∠BAC=90°(已知),∠B=∠ACB(已证)
∴∠B=∠ACB=45°
又∵∠B=∠BCN(已证)
∴∠BCN=45°(等量代换)
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠CMP=90°,∠CNP=90°(垂直定义)
∵△CMP中,∠CMP+∠ACB+∠MPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CMP=90°,∠ACB=45°(已证)
∴∠MPC=180°-∠CMP-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∵△CNP中,∠CNP+∠BCN+∠NPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CNP=90°,∠ACN=45°(已证)
∴∠NPC=180°-∠CNP-∠ACN
=180°-90°-45°
=45°
∴∠MPC+∠NPC=45°+45°=90°
即∠MPN=90°
∵PE⊥AB(已知)
∴∠APE=90°(垂直定义)
∴∠MPN=∠APE
∴∠MPN-∠MPE=∠APE-∠MPE(等量减等量,差相等)
即∠APM=∠EPN
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠AMP=∠ENP(垂直定义)
在△APM和△EPN中
∠APM=∠EPN(已证)
PM=PN(已证)
∠AMP=∠PNE(已证)
∴△APM≌△EPN(ASA)
∴AP=AE(全等三角形的对应边相等)
证明:过点P作PM⊥AC,垂足为M,
过点P作PN⊥CD,垂足为N.
∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠ACB(等边对等角)
∵CD‖BA(已知)
∴∠B=∠BCN(两直线平行,内错角相等)
∴∠ACB=∠BCN(等量代换)
又∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵在△ABC中,∠BAC+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和180°)
且∠BAC=90°(已知),∠B=∠ACB(已证)
∴∠B=∠ACB=45°
又∵∠B=∠BCN(已证)
∴∠BCN=45°(等量代换)
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠CMP=90°,∠CNP=90°(垂直定义)
∵△CMP中,∠CMP+∠ACB+∠MPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CMP=90°,∠ACB=45°(已证)
∴∠MPC=180°-∠CMP-∠ACB
=180°-90°-45°
=45°
∵△CNP中,∠CNP+∠BCN+∠NPC=180°(三角形内角和180°)
且∠CNP=90°,∠ACN=45°(已证)
∴∠NPC=180°-∠CNP-∠ACN
=180°-90°-45°
=45°
∴∠MPC+∠NPC=45°+45°=90°
即∠MPN=90°
∵PE⊥AB(已知)
∴∠APE=90°(垂直定义)
∴∠MPN=∠APE
∴∠MPN-∠MPE=∠APE-∠MPE(等量减等量,差相等)
即∠APM=∠EPN
∵PM⊥AC,PN⊥CD(已作)
∴∠AMP=∠ENP(垂直定义)
在△APM和△EPN中
∠APM=∠EPN(已证)
PM=PN(已证)
∠AMP=∠PNE(已证)
∴△APM≌△EPN(ASA)
∴AP=AE(全等三角形的对应边相等)
如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,CD‖BA,点P是BC上一点,连结AP,过点P做PE⊥AP交C,探究P
已知:如图,在三角形ABC中,AB=AC,CD⊥AB,交BA的延长线于点D.P是BC上的任意一点,PE⊥AC交CA的延长
如图,在三角形ABC中,∠C=90°,P是AB上一点,且点P与点A不重合,过点P作PE⊥AB,若AB=10,AC=8,设
下面如图,已知p是正方形abcd边bc上一点,pe垂直ap,且pe=ap,连接ae,ce,ae交cd于点f
已知等边三角形ABC,P在射线BA上, 如图1,当AB=2AP时,过点P作PF⊥BC于F,交AC于点E,求证AE=EC
如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,C
在等腰三角形ABC中,AC=BC,COD是底边上的高线,点P是线段CD上不与端点重合的任意一点,连结AP并延长交BC与点
如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,P是对角线AC上一动点,连接PD,过点P作PE⊥PD交线段BC于E,设AP=x
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E、F同时从点P出发,分别沿PA、P
如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P是BC延长线上一点,PE⊥AB交BA延长线于点E,PF⊥AC
已知△ABC中角BAC=90°,AB=AC,点P为BC上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠PAQ=90°,连接CQ.