神马作文网多元正态分布如何检验?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 02:13:26
多元正态分布如何检验?
遇到个难题就是如何做多元正态分布的检验?有SAS程序最好了,没有的话我知道是什么方法也行自己写个!
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1 方法
性质1：设X是一个随机变量,其分布函数为F(x),则Y=F(X)服从在〔0,1〕的均匀分布.
性质2：设X1,K,Xn是某个分布的一个简单样本,其分布函数为F(x),由性质1可知,在概率意义下,F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均匀分布,按从小到大依次排序,记为F(X?1),F(X?2),K,F(X?n),其相应理论值应为ri=i-0,5[]n,i=1,2,…,n,对应分布函数的反函数值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分布中即为卡方分数）应非常接近X?1,2K,n,故在概率意义下,这些散点(X?1,F-1(r1)),(X?2,F-1(r2)),L,(X?n,F-1(rn))应在一条直线上.
根据性质2,如果X服从正态分布,则散点理论上应落在一直线上,可以用Pearson系数刻画这种分布.但由于随机变异的存在,Pearson系数并不等于1,所以通过随机模拟的方法,制定出Pearson系数的95%界值下限.
性质3：由条件概率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X,Y）服从二元正态分布的充分必要条件是固定X,Y服从正态分布(条件概率分布)并且X的边际分布为正态分布.由线性回归的性质ε=Y-(α+βX)可知,固定X,Y的条件概率分布为正态分布的充分必要条件是线性回归的残差ε服从正态分布,由此可得：（X,Y）服从二元正态分布的充分必要条件是X的边际分布为正态分布以及线性回归模型Y=α+βX+ε中的残差服从正态分布.
设X来自于正态总体,从正态总体中随机模拟抽样5000次,每次抽样样本含量分别为7至50,对F(x)求秩,求出排序后的F(x)和排序后的X的Pearson相关系数.表1 随机模拟5000次得到的检验正态分布的Pearson相关系数的界值（略）
类似地,我们也可以用同样的方法得到检验卡方分布的Pearson相关系数的界值表（简化表）表2 相关系数界值表（略）
2 随机模拟验证
1 Pearson相关系数界值表的随机模拟验证
设X来自于正态总体,从正态总体中随机模拟抽样5000次,每次抽样样本含量分别为10,20,30,40,50,并计算相应的Pearson卡方系数,以及落在界值外面的比例,即拒绝比例,再在同一批数据的前提下用McNemar检验比较本方法和Swilk法的差别.表3 （一元正态分布）模拟次数（略）表4（一元偏态分布,χ2)模拟次数（略）
以上方法拒绝比例在样本量为7的可信区间为［78.37%,94.12%］,在其余样本量时都接近100%,可以证实是正确的.
2 卡方分布界值表的随机模拟验证
表5 卡方分布：模拟5000次（略）
3 马氏距离的随机模拟验证
根据马氏距离的定义,从正态分布总体中随机抽取样本量分别为10,20,30,40,50的样本模拟5000次,根据上面提到的方法以卡方分数对X?1,2K,n求Pearson系数,并根据以上的相关系数界值表,计算相应的统计量,即拒绝比例.表6 马氏距离落在Pearson系数界值表外的比例（略）
4 二元正态分布资料的随机模拟验证
设定一个二维矩阵A,分别求出特征值P和特征向量Z,设X的元素均来自于正态总体分布,则Y=Z′×X必服从二元正态分布,随机模拟5000次,根据性质三介绍的方法验证的拒绝比例如下.表7 （二元正态分布）模拟次数（略）表8 （二元偏态分布,χ2）模拟次数（略）
5 三元正态分布资料的随机模拟验证
类似地,随机模拟5000次,用同样方法进行验证,得到对于三元正态分布数据的拒绝比例.表9 （三元正态分布）模拟次数：5000次
性质1：设X是一个随机变量,其分布函数为F(x),则Y=F(X)服从在〔0,1〕的均匀分布.
性质2：设X1,K,Xn是某个分布的一个简单样本,其分布函数为F(x),由性质1可知,在概率意义下,F(X1),F(X2),K,F(Xn)在（0,1）上呈均匀分布,按从小到大依次排序,记为F(X?1),F(X?2),K,F(X?n),其相应理论值应为ri=i-0,5[]n,i=1,2,…,n,对应分布函数的反函数值F-1(r1),F-1(r2),K,F-1(rn)（在卡方分布中即为卡方分数）应非常接近X?1,2K,n,故在概率意义下,这些散点(X?1,F-1(r1)),(X?2,F-1(r2)),L,(X?n,F-1(rn))应在一条直线上.
根据性质2,如果X服从正态分布,则散点理论上应落在一直线上,可以用Pearson系数刻画这种分布.但由于随机变异的存在,Pearson系数并不等于1,所以通过随机模拟的方法,制定出Pearson系数的95%界值下限.
性质3：由条件概率公式P(X,Y)=P(Y|X)P(X)可知：（X,Y）服从二元正态分布的充分必要条件是固定X,Y服从正态分布(条件概率分布)并且X的边际分布为正态分布.由线性回归的性质ε=Y-(α+βX)可知,固定X,Y的条件概率分布为正态分布的充分必要条件是线性回归的残差ε服从正态分布,由此可得：（X,Y）服从二元正态分布的充分必要条件是X的边际分布为正态分布以及线性回归模型Y=α+βX+ε中的残差服从正态分布.
设X来自于正态总体,从正态总体中随机模拟抽样5000次,每次抽样样本含量分别为7至50,对F(x)求秩,求出排序后的F(x)和排序后的X的Pearson相关系数.表1 随机模拟5000次得到的检验正态分布的Pearson相关系数的界值（略）
类似地,我们也可以用同样的方法得到检验卡方分布的Pearson相关系数的界值表（简化表）表2 相关系数界值表（略）
2 随机模拟验证
1 Pearson相关系数界值表的随机模拟验证
设X来自于正态总体,从正态总体中随机模拟抽样5000次,每次抽样样本含量分别为10,20,30,40,50,并计算相应的Pearson卡方系数,以及落在界值外面的比例,即拒绝比例,再在同一批数据的前提下用McNemar检验比较本方法和Swilk法的差别.表3 （一元正态分布）模拟次数（略）表4（一元偏态分布,χ2)模拟次数（略）
以上方法拒绝比例在样本量为7的可信区间为［78.37%,94.12%］,在其余样本量时都接近100%,可以证实是正确的.
2 卡方分布界值表的随机模拟验证
表5 卡方分布：模拟5000次（略）
3 马氏距离的随机模拟验证
根据马氏距离的定义,从正态分布总体中随机抽取样本量分别为10,20,30,40,50的样本模拟5000次,根据上面提到的方法以卡方分数对X?1,2K,n求Pearson系数,并根据以上的相关系数界值表,计算相应的统计量,即拒绝比例.表6 马氏距离落在Pearson系数界值表外的比例（略）
4 二元正态分布资料的随机模拟验证
设定一个二维矩阵A,分别求出特征值P和特征向量Z,设X的元素均来自于正态总体分布,则Y=Z′×X必服从二元正态分布,随机模拟5000次,根据性质三介绍的方法验证的拒绝比例如下.表7 （二元正态分布）模拟次数（略）表8 （二元偏态分布,χ2）模拟次数（略）
5 三元正态分布资料的随机模拟验证
类似地,随机模拟5000次,用同样方法进行验证,得到对于三元正态分布数据的拒绝比例.表9 （三元正态分布）模拟次数：5000次