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已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、N分别是PA、BD上的点且PM:M

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 01:23:08
已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、N分别是PA、BD上的点且PM:MA=BN:ND=5:8,如图.

(1)求证:直线MN∥平面PBC;
(2)求线段MN的长.
已知正方形ABCD的边长是13,平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都为13,M、N分别是PA、BD上的点且PM:M
(1)证明:连结AN并延长和BC交于E点,由PM:MA=BN:ND=5:8,可得EN:NA=BN:ND=MP:MA=5:8,

NE
NA=
PM
MA,∴MN∥PE,而MN⊄平面PBC,PE⊂面PBC,
∴MN∥平面PBC.
(2)由于△PBC是边长为13的等边三角形,
余弦定理求得PE2=PB2+BE2-2PB•EBcos60°=132+(
13
2)2-2×13×
13

1
2=
8281
64,
∴PE=
91
8.
由于△AMN 与△APE的相似比为
8
13,∴MN=
8
13PE=7.