神马作文网初等矩阵是由单位矩阵做某种行或列变换所得,那么该初等矩阵与某矩阵相乘使该矩阵也做该种变换.
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 21:02:47
初等矩阵是由单位矩阵做某种行或列变换所得,那么该初等矩阵与某矩阵相乘使该矩阵也做该种变换.
我知道算的时候都是对的 可是怎么证明呢
我知道算的时候都是对的 可是怎么证明呢
需要分左乘和右乘
该初等矩阵与某矩阵右乘,则仅限行变换
该初等矩阵与某矩阵左乘,则仅限列变换
矩阵初等变换可以通过左乘某个矩阵或右乘某个矩阵实现
其中行变换是左乘,列变换是右乘.
以下仅讨论对矩阵X作行变换的情况,列变换只需把左乘改成右乘
（1）对调两行r1r2,得到X1,则
X1=AX, 其中A=
0 1 0 ...0
1 0 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
（2）r1*a (a为常数) , 得到X2,则
X2=BX, 其中B=
a 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
(3)r1-r2 , 得到X3,则
X3=CX, 其中C=
1 -1 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
回到原题,设原矩阵为X, “某矩阵”为Y
若X=(ABC)E
∴XY=(ABC)EY=(ABC)Y
即XY可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的行变换获得
若X=E(ABC)
∴YX=YE(ABC)=Y(ABC)
即YX可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的列变换获得
注:以上(ABC)实际上可以是作若干次相应的行变换或列变换,即左乘若干个A, 若干个B, 若干个C, 或右乘若干个A, 若干个B, 若干个C
该初等矩阵与某矩阵右乘,则仅限行变换
该初等矩阵与某矩阵左乘,则仅限列变换
矩阵初等变换可以通过左乘某个矩阵或右乘某个矩阵实现
其中行变换是左乘,列变换是右乘.
以下仅讨论对矩阵X作行变换的情况,列变换只需把左乘改成右乘
（1）对调两行r1r2,得到X1,则
X1=AX, 其中A=
0 1 0 ...0
1 0 0 ...0
0 0 1 ...0
...
0 0 0 ...1
（2）r1*a (a为常数) , 得到X2,则
X2=BX, 其中B=
a 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
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0 0 0 ...1
(3)r1-r2 , 得到X3,则
X3=CX, 其中C=
1 -1 0 ...0
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0 0 1 ...0
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回到原题,设原矩阵为X, “某矩阵”为Y
若X=(ABC)E
∴XY=(ABC)EY=(ABC)Y
即XY可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的行变换获得
若X=E(ABC)
∴YX=YE(ABC)=Y(ABC)
即YX可通过Y作与单位阵E变换成X所作的相同的列变换获得
注:以上(ABC)实际上可以是作若干次相应的行变换或列变换,即左乘若干个A, 若干个B, 若干个C, 或右乘若干个A, 若干个B, 若干个C