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若三棱锥S-ABC顶点S在底面上的射影H在ΔABC的内部,且是在ΔABC的垂心,求证点A在平面SBC上的射影是ΔABC的

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 10:31:31
若三棱锥S-ABC顶点S在底面上的射影H在ΔABC的内部,且是在ΔABC的垂心,求证点A在平面SBC上的射影是ΔABC的垂心.
若三棱锥S-ABC顶点S在底面上的射影H在ΔABC的内部,且是在ΔABC的垂心,求证点A在平面SBC上的射影是ΔABC的
设A在平面SBC上的射影是M
∵ SH⊥平面ABC
∴ SH⊥BC (1)
∵ H是ΔABC的垂心
∴ AH⊥BC (2)
由(1)(2)
BC⊥平面SAH
∴ BC⊥SA (3)
∵ AM⊥平面SBC
∴ BC⊥AM (4)
由(3)(4)
BC⊥平面SAM
∴ BC⊥SM (5)
同理可证 CM⊥SB (6)
由(5)(6)
点A在平面SBC上的射影是ΔABC的垂心.