求定积分∫ 根号(1-x^2)dx(上下限0—1/2)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 16:29:50
求定积分∫ 根号(1-x^2)dx(上下限0—1/2)
设x = siny,dx = cosy dy
当x = 0,y = 0;当x = 1/2,y = π/6
∫(0→1/2) √(1 - x²) dx
= ∫(0→π/6) √(1 - sin²y) • cosy dy
= ∫(0→π/6) cos²y dy
= (1/2)∫(0→π/6) (1 + cos2y) dy
= (1/2)(y + 1/2 • sin2y) |(0→π/6)
= (1/2)(π/6 + √3/4)
= (3√3 + 2π)/24
再问: 这是什么方法?我们好像还没学,看不懂。
再答: 这是第二类换元积分法,用三角函数作代换的 或者,用几何意义求这个也可以,就是找面积 这积分表示的区域是圆x² + y² = 1,圆心(0,0),半径1 在第一象限内的1/4个圆和弦x = 1/2截到的面积 http://hiphotos.baidu.com/fin3574/pic/item/425bf9335c6034a8fdca5736cb134954082376da.jpg 用几何意义 将区域割为一个扇形ACD和一个直角三角形ABC 三角形面积为(1/2)(AB)(BC) = (1/2)(1/2)√(1 - (1/2)²) = √3/8 cos∠BAC = AB/AC = 1/2 ∠BAC = 60° ∠CAD = 90° - 60° = 30° 扇形面积为30°/360° • π(1)² = π/12 所以整个面积为π/12 + √3/8 = (3√3 + 2π)/24
当x = 0,y = 0;当x = 1/2,y = π/6
∫(0→1/2) √(1 - x²) dx
= ∫(0→π/6) √(1 - sin²y) • cosy dy
= ∫(0→π/6) cos²y dy
= (1/2)∫(0→π/6) (1 + cos2y) dy
= (1/2)(y + 1/2 • sin2y) |(0→π/6)
= (1/2)(π/6 + √3/4)
= (3√3 + 2π)/24
再问: 这是什么方法?我们好像还没学,看不懂。
再答: 这是第二类换元积分法,用三角函数作代换的 或者,用几何意义求这个也可以,就是找面积 这积分表示的区域是圆x² + y² = 1,圆心(0,0),半径1 在第一象限内的1/4个圆和弦x = 1/2截到的面积 http://hiphotos.baidu.com/fin3574/pic/item/425bf9335c6034a8fdca5736cb134954082376da.jpg 用几何意义 将区域割为一个扇形ACD和一个直角三角形ABC 三角形面积为(1/2)(AB)(BC) = (1/2)(1/2)√(1 - (1/2)²) = √3/8 cos∠BAC = AB/AC = 1/2 ∠BAC = 60° ∠CAD = 90° - 60° = 30° 扇形面积为30°/360° • π(1)² = π/12 所以整个面积为π/12 + √3/8 = (3√3 + 2π)/24
求定积分∫ 根号(1-x^2)dx(上下限0—1/2)
求定积分:∫dx/x(根号x^2-1),上限 - (根号2),下限-2
求定积分∫上限2,下限1 (根号x-1 ) /x dx,
求定积分∫|x|dx,上限1,下限-2
求定积分 上限1 下限0 x 根号3-x^2 dx
求定积分∫上限根号3 下限0 (x乘根号下1+x^2) dx
求定积分∫1/根号x*(lnx)^2dx 上限e^2下限1
求定积分∫dx/[根号(1+x^2)^3],上限1,下限0.
∫dx/(1+x^2)上限根号3下限-1求定积分
求定积分∫上限2,下限1 dx / (根号下4-x^2),
求定积分 上限e^2 下限1 ∫[lnx/根号x]dx
求定积分:[(2+根号下x)分之1]dx,上限是1,下限是0?