a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 06:56:29
a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
不失一般性,设a≧b≧c>0,则:1/c≧1/b≧1/a.
令p=(a+b+c)/2,则有:2p=a+b+c.
现在考查 2c(p-c)、2b(p-b)、2a(p-a)的大小.
∵2c(p-c)-2b(p-b)
=2pc-2c^2-2pb+2b^2=2(b^2-c^2)-2p(b-c)=2(b-c)(b+c)-2p(b-c)
=(b-c)[2(b+c)-2p]=(b-c)[2(b+c)-(a+b+c)]
=(b-c)(b+c-a).
在三角形中,显然有:b+c-a>0,而b≧c,∴(b-c)(b+c-a)≧0,
∴2c(p-c)≧2b(p-b).
∵2b(p-b)-2a(p-a)
=2pb-2b^2-2pa+2a^2=2(a^2-b^2)-2p(a-b)=2(a-b)(a+b)-2p(a-b)
=(a-b)[2(a+b)-2p]=(a-b)[2(a+b)-(a+b+c)]
=(a-b)(a+b-c).
在三角形中,显然有:a+b-c>0,而a≧b,∴(a-b)(a+b-c)≧0,
∴2b(p-b)≧2a(p-a).
考查下面两组数:1/c≧1/b≧1/a、 2c(p-c)≧2b(p-b)≧2a(p-a).
由排序不等式:顺序和≧乱序和,得:
[2c(p-c)]/c+[2b(p-b)]/b+[2a(p-a)]/a
≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴2(p-c)+2(p-b)+2(p-a)
≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴6p-(a+b+c)≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴3(a+b+c)-(a+b+c)≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴a+b+c≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧2c^2a(p-c)+2b^2c(p-b)+2a^2b(p-a),
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧c^2a(2p-2c)+b^2c(2p-2b)+a^2b(2p-2a),
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧c^2a(a+b-c)+b^2c(a+c-b)+a^2b(b+c-a),
∴0≧c^2a(a-c)+b^2c(c-b)+a^2b(b-a),
∴0≧c^2a^2-c^3a+b^2c^2-b^3c+a^2b^2-a^3b,
∴a^3b+b^3c+c^3a≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2.
令p=(a+b+c)/2,则有:2p=a+b+c.
现在考查 2c(p-c)、2b(p-b)、2a(p-a)的大小.
∵2c(p-c)-2b(p-b)
=2pc-2c^2-2pb+2b^2=2(b^2-c^2)-2p(b-c)=2(b-c)(b+c)-2p(b-c)
=(b-c)[2(b+c)-2p]=(b-c)[2(b+c)-(a+b+c)]
=(b-c)(b+c-a).
在三角形中,显然有:b+c-a>0,而b≧c,∴(b-c)(b+c-a)≧0,
∴2c(p-c)≧2b(p-b).
∵2b(p-b)-2a(p-a)
=2pb-2b^2-2pa+2a^2=2(a^2-b^2)-2p(a-b)=2(a-b)(a+b)-2p(a-b)
=(a-b)[2(a+b)-2p]=(a-b)[2(a+b)-(a+b+c)]
=(a-b)(a+b-c).
在三角形中,显然有:a+b-c>0,而a≧b,∴(a-b)(a+b-c)≧0,
∴2b(p-b)≧2a(p-a).
考查下面两组数:1/c≧1/b≧1/a、 2c(p-c)≧2b(p-b)≧2a(p-a).
由排序不等式:顺序和≧乱序和,得:
[2c(p-c)]/c+[2b(p-b)]/b+[2a(p-a)]/a
≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴2(p-c)+2(p-b)+2(p-a)
≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴6p-(a+b+c)≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴3(a+b+c)-(a+b+c)≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴a+b+c≧[2c(p-c)]/b+[2b(p-b)]/a+[2a(p-a)]/c,
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧2c^2a(p-c)+2b^2c(p-b)+2a^2b(p-a),
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧c^2a(2p-2c)+b^2c(2p-2b)+a^2b(2p-2a),
∴a^2bc+b^2ac+c^2ab≧c^2a(a+b-c)+b^2c(a+c-b)+a^2b(b+c-a),
∴0≧c^2a(a-c)+b^2c(c-b)+a^2b(b-a),
∴0≧c^2a^2-c^3a+b^2c^2-b^3c+a^2b^2-a^3b,
∴a^3b+b^3c+c^3a≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2.
a ,b ,c 是三角形的三边,求证a^3b+b^3c+c^3a>=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2
设a,b,c是三角形ABC的三边,求证:(a+b+c)^2
在△ABC中,a、b、c是三角形的三边,化简根号下(a-b-c)²-2|c-a-b|+3|b-c+a|
在△ABC中,a,b,c是三角形的三边,化简根号(a-b-c)²-2/c-a-b/+3/b-c+a/
已知a,b,c是实数,求证a*a+b*b+c*c>=ab+3b+2c
求证:任意三角形的边长a,b,c满足不等式:a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc>a^3+b^
设A.B.C均为正数,求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)>=3/2
设a,b,c,属于正实数,求证a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=2/3
(a-b)(b-c)(c-a)/(b-a)(a-c)2(c-b)3
a,b,c是△ABC的三边,化简2|a-b-c| -3|b-c-a|
已知a,b,c是正数,求证a^2a*b^2b*c^2c>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b)
设a,b,c为三角形三边,且a+b+c=2,求证:a/(1-a)+b/(1-b)+c/(1-c)>=6