AB均为n阶正定矩阵,满足AB=BA,求证：存在一个n阶正定矩阵P,使P’AP和P’BP均为对角阵（P’为转置矩阵）

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/23 16:19:58

不能要求P是正定阵（否则有反例）,只能要求P是正交阵
再问：噢，我打错了，是正交，是不是根据正定阵是实对称矩阵，所以存在正交阵使得
P’Ap为对角矩阵，然后P'BP此时也是实对称矩阵，因此存在正交阵Q使得Q'P'BPQ为对角阵
再答：在AB=BA的前提下A和B的正定性没用，只需要对称性就够了
但是你的“证明”不行，Q'P'APQ未必是对角阵
正确的证法是先证明A和B有公共特征向量，然后分离掉这个特征向量再用归纳法
再问：这个证法是什么意思？比如如何证明有公共的特征向量，为什么要证明有公共的特征向量，又如何使用AB=BA这个条件？其次，分离掉这些向量又是采用什么巧妙的方法“分离”？最后，归纳法又是什么意思？从1到n阶吗？能打几个关键步骤给我吗，按这个思路我完全不知道从何下手
再答：公共特征向量的证明：

http://zhidao.baidu.com/question/118743414.html
取一个公共特征向量并单位化得到x，Ax=λx，Bx=μx，
再取一个以x为第一列的正交阵Q，那么Q'AQ=diag{λ,A2}，Q‘BQ=diag{μ,B2}
A2B2=B2A2，然后归纳

AB均为n阶正定矩阵,满足AB=BA,求证：存在一个n阶正定矩阵P,使P’AP和P’BP均为对角阵（P’为转置矩阵） AB均为n阶实对称阵,A正定,证明存在n阶实可逆阵P使P’AP和P‘BP均为对角阵（P‘为转置矩阵）设n阶矩阵A对称正定,n阶矩阵B为对称矩阵,证明存在合同变换矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵设AB均为n阶实对称矩阵,证明存在n阶可逆矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵（p’为转置矩阵）设A,B均为N阶矩阵,且AB=BA,证明：如果A,B都相似于对角阵,则存在可逆矩阵P使P^-1AP与P^-1BP均为对角 AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵设A,B为n阶实对称方阵,且A正定,则存在实可逆矩阵P,使 P' AP=E,同时P' BP=diag(λ1,…,λn). 设A,B都是n阶实对称矩阵,那么存在正交矩阵P使得 P'AP和P'BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA A为n阶可逆矩阵,证明存在一个正定阵s和一个正交阵p使A=ps.这个怎么证设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA. 已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.