求证一个与无理数有关的稠密性问题
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 21:39:40
求证一个与无理数有关的稠密性问题
概念:
[r]表示不超过实数r的最大整数
设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
概念:
[r]表示不超过实数r的最大整数
设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
记{na}=na-[na].
如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空(m是正整数),那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空(只要把它乘以若干倍即可).
进而,如果在上述证明中的m是任意的自然数,那么我们就知道S可以任意小地逼近一个[0,1]之间的数(因为它与该数的差距不会大于1/m).从而得到我们的结论.
所以,我们只需要证明对于任意m,S与区间[0,1/m]的交集非空即可.
不妨设a>0.a
如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空(m是正整数),那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空(只要把它乘以若干倍即可).
进而,如果在上述证明中的m是任意的自然数,那么我们就知道S可以任意小地逼近一个[0,1]之间的数(因为它与该数的差距不会大于1/m).从而得到我们的结论.
所以,我们只需要证明对于任意m,S与区间[0,1/m]的交集非空即可.
不妨设a>0.a
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