已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 15:51:17
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g'(x)的最小值为0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2,
∴f'(x)=3ax2+2bx.
由题意有
f′(−1)=3a−2b=0
f′(1)=3a+2b=12,
解得
a=2
b=3.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3+3x2.
(Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞),
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
1
2)2−
3
2+m在[1,+∞)单调递增
∴[g'(x)]min=g'(1)=12+m=0,
∴m=-12.
(Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞),
由(Ⅱ)知,当x=1时,g'(x)=0,
当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数.
∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7.
∴f'(x)=3ax2+2bx.
由题意有
f′(−1)=3a−2b=0
f′(1)=3a+2b=12,
解得
a=2
b=3.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2x3+3x2.
(Ⅱ)g(x)=f(x)+mx=2x3+3x2+mx,x∈[1,+∞),
g′(x)=6x2+6x+m=6(x+
1
2)2−
3
2+m在[1,+∞)单调递增
∴[g'(x)]min=g'(1)=12+m=0,
∴m=-12.
(Ⅲ)g(x)=2x3+3x2-12x,x∈[1,+∞),
由(Ⅱ)知,当x=1时,g'(x)=0,
当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数.
∴g(x)≥g(1)=2+3-12=-7.
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线,求切线方程
已知R上的函数f(x)=1/3ax3+1/2bx2+cx在x=1时取得最值,且y=f(x)图像上有一点处得切线斜率为-a
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a、b、c为常数),f(x)在x=-1处有极值,曲线y=f(x)在点(3,-24
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,若x=23时,y=f(x)有极值,且曲线y=f(x)在点f(1)处的切线斜率为
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,且函数f(x)的图像关于原点对称,其图像在x=3处的切线的方程为8x-y-1
已知函数f(x)=ax3次方+bx2次方+cx在x=正负1处确定极值,且在x=0处的切线斜率为负3,(1)求f(x)
已知函数f(x)=ax³+bx²在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;
设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点.
设函数f(x)=ax2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线垂直于直线x
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+2在x=1处取得极值-1.