神马作文网有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 04:05:07
有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙.我都晕了.
Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n"
A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits.Counting from right to left,what is the 68th digit of "n"
A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8
题意为：设n为满足“14n刚好是100位数”的最大整数.求n从右向左数第68个数是几.
注意到14n必是能被14整除的最大的100位数,而10 ≡ 3(mod 7),10^2 ≡ 2(mod 7),10^10 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7),
10^20 ≡ 2(mod 7),10^100 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7).
所以 7 | (10^100 - 4),而10^100 - 4又恰好为偶数,故14n = 10^100 - 4.
故 7n = 5 × 10^99 - 2.
欲求n从右往左数第68个数,即是要求n / 10^67 的个位数.
n / 10^67 = (5/7) × 10^32 - 2/(7 × 10^67).
注意到 5/7 = 0.714285714285···,循环长度为6,循环节为714285.
而32 ≡ 2(mod 6),故(5/7) × 10^32的个位数为1,即循环节714285的第二个数.
又2/(7 × 10^67) < 0.1
故n / 10^67 的个位数为1.
选A.
再问： 能不能说的简单一点(更适合我理解) 我的数学还没学到这么深 这是竞赛题。。。你讲的很“专业”但是我不太明白 没有学过 "mod" 可不可以说的更容易理解呢？？？谢谢了 知道你辛苦 你的答案我还是很满意的 就是有一点让我 confuse... 不好意思哈 又让你费事了。。。
再答： "mod"没什么，就是同余的意思，写起来方便点。10 ≡ 3(mod 7) 的意思就是10 除以7的余数跟3除以7的余数相等。 "≡"有许多类似于等号的性质，如 a ≡ b(mod n), 且(c, n) = 1, 则ac ≡ bc(mod n). 这是竞赛的内容啊。你把全部"mod"都转换成整除的语句就好了。
注意到14n必是能被14整除的最大的100位数,而10 ≡ 3(mod 7),10^2 ≡ 2(mod 7),10^10 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7),
10^20 ≡ 2(mod 7),10^100 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7).
所以 7 | (10^100 - 4),而10^100 - 4又恰好为偶数,故14n = 10^100 - 4.
故 7n = 5 × 10^99 - 2.
欲求n从右往左数第68个数,即是要求n / 10^67 的个位数.
n / 10^67 = (5/7) × 10^32 - 2/(7 × 10^67).
注意到 5/7 = 0.714285714285···,循环长度为6,循环节为714285.
而32 ≡ 2(mod 6),故(5/7) × 10^32的个位数为1,即循环节714285的第二个数.
又2/(7 × 10^67) < 0.1
故n / 10^67 的个位数为1.
选A.
再问： 能不能说的简单一点(更适合我理解) 我的数学还没学到这么深 这是竞赛题。。。你讲的很“专业”但是我不太明白 没有学过 "mod" 可不可以说的更容易理解呢？？？谢谢了 知道你辛苦 你的答案我还是很满意的 就是有一点让我 confuse... 不好意思哈 又让你费事了。。。
再答： "mod"没什么，就是同余的意思，写起来方便点。10 ≡ 3(mod 7) 的意思就是10 除以7的余数跟3除以7的余数相等。 "≡"有许多类似于等号的性质，如 a ≡ b(mod n), 且(c, n) = 1, 则ac ≡ bc(mod n). 这是竞赛的内容啊。你把全部"mod"都转换成整除的语句就好了。