神马作文网已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f'（1）=f'（-2/3）=0
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 17:51:29
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f'（1）=f'（-2/3）=0
1.求a,b的值及函数f（x）单调增区间
2.若对x属于[-1,2],不等式f（x）＜k2恒成立,求k的取值范围
1.求a,b的值及函数f（x）单调增区间
2.若对x属于[-1,2],不等式f（x）＜k2恒成立,求k的取值范围
1、f′(x)=3x²+2ax+b;
f′(1)=3+2a+b=0(1)
f′(-2/3)=4/3-4a/3+b=0;(2)
(1)-(2)得：10a/3+5/3=0;
a=-1/2;
带入（1）得：3-1+b=0；
b=-2；
∴f′(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1);
f′(x)≥0;即x≥1或x≤-2/3时,单调递增；
f′(x)≤0,即-2/3≤x≤1时,单调递减；
所以单调递增区间为[1,﹢∞﹚∪(﹣∞,-2/3];
单调递减区间为[-2/3,1]
2、x∈[-1,2].
极大值f(-2/3)=-8/27-2/9+4/3+k=22/27+k;
f(2)=8-2-4+k=2+k;
∴f(2)＞f(-2/3)
∴f(2)是x∈[-1,2]之间最大值；
∴f(2)=2+k＜k²;
k²-k-2＞0;
(k-2)(k+1)＞0;
∴k取值范围为k＞2或k＜-1；
如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳
如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢.
祝学习进步
f′(1)=3+2a+b=0(1)
f′(-2/3)=4/3-4a/3+b=0;(2)
(1)-(2)得：10a/3+5/3=0;
a=-1/2;
带入（1）得：3-1+b=0；
b=-2；
∴f′(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1);
f′(x)≥0;即x≥1或x≤-2/3时,单调递增；
f′(x)≤0,即-2/3≤x≤1时,单调递减；
所以单调递增区间为[1,﹢∞﹚∪(﹣∞,-2/3];
单调递减区间为[-2/3,1]
2、x∈[-1,2].
极大值f(-2/3)=-8/27-2/9+4/3+k=22/27+k;
f(2)=8-2-4+k=2+k;
∴f(2)＞f(-2/3)
∴f(2)是x∈[-1,2]之间最大值；
∴f(2)=2+k＜k²;
k²-k-2＞0;
(k-2)(k+1)＞0;
∴k取值范围为k＞2或k＜-1；
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