已知函数f(x)=12(x−1)2+㏑x−ax+a.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 17:25:14
已知函数f(x)=
(x−1)
1 |
2 |
(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=x−1+
1
x−a,
当a=
3
2时,f′(x)=x+
1
x−
5
2=
2x2−5x+2
2x,
令f′(x)=0,解得x=
1
2或2.列表:
x (0,
1
2)
1
2 (
1
2,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 等单调递增函数f(x)在x=
1
2处取得极大值f(
1
2)=−
1
8−ln2,
函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-
1
2;
(II)f′(x)=x+
1
x−(1+a),当x∈(1,3)时,(x+
1
x)∈(2,
10
3),
(i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3),f′(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数,
∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立;
(ii)当1+a≥
10
3,即a≥
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,3)是减函数,
∀x∈(1,3),f(x)<f(1)=0恒成立,不合题意,应舍去;
(iii)当2<1+a<
10
3,即1<a<
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)先取负,再取0,最后取正,函f(x)在(1,3)先递减,再递增,而f(1)=0,∴∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0不能恒成立;
综上,a的取值范围是(-∞,1).
f′(x)=x−1+
1
x−a,
当a=
3
2时,f′(x)=x+
1
x−
5
2=
2x2−5x+2
2x,
令f′(x)=0,解得x=
1
2或2.列表:
x (0,
1
2)
1
2 (
1
2,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 等单调递增函数f(x)在x=
1
2处取得极大值f(
1
2)=−
1
8−ln2,
函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=ln2-
1
2;
(II)f′(x)=x+
1
x−(1+a),当x∈(1,3)时,(x+
1
x)∈(2,
10
3),
(i)当1+a≤2,即a≤1时,x∈(1,3),f′(x)>0,函数f(x)在(1,3)是增函数,
∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0恒成立;
(ii)当1+a≥
10
3,即a≥
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,3)是减函数,
∀x∈(1,3),f(x)<f(1)=0恒成立,不合题意,应舍去;
(iii)当2<1+a<
10
3,即1<a<
7
3时,x∈(1,3)时,f′(x)先取负,再取0,最后取正,函f(x)在(1,3)先递减,再递增,而f(1)=0,∴∀x∈(1,3),f(x)>f(1)=0不能恒成立;
综上,a的取值范围是(-∞,1).
已知函数f(x)=12(x−1)2+㏑x−ax+a.
已知函数f(x)=x−ax−2,
已知函数f(x)=ax+x−2x+1(a>1)
已知函数f(x)=−2a2lnx+12x2+ax(a∈R).
已知函数f(x)=x-alnx,g(x)=−1+ax,(a∈R).
已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)
已知函数f(x)=x 2+ax+ax,且a<1
已知函数f(x)=a−2x.
已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1).
已知函数f(x)=14x2−1ax+ln(x+a),其中常数a>0.
已知函数f(x)=ax+lnx−1,a∈R.
(2013•珠海二模)已知函数f(x)=x2−ax+14x−4×2x−a,x≥ax<a,