隐微分法求导数完全看不懂implicit differentiation(隐微分求导数）.例子：y^2+y=3x^5-7

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/16 06:16:08

隐微分法求导数
完全看不懂implicit differentiation(隐微分求导数）.
例子：y^2+y=3x^5-7x
我明白下一步怎么变成2y(dy/dx)+1(dy/dx)=15x^4(dx/dx)-7(dx/dx)
为什么它在两边求了导数之后,还要分别乘上dy/dx和dx/dx啊?什么原理啊?

y²+y=3x^5-7x
我明白下一步怎么变成2y(dy/dx)+1(dy/dx)=15x^4(dx/dx)-7(dx/dx)
为什么它在两边求了导数之后,还要分别乘上dy/dx和dx/dx啊?什么原理啊?
∵ y² + y = 3x^5 - 7x
如果能解出来,得到y=ƒ(x),这就是显函数(explicit function);
如果解不出来,无法得到y=ƒ(x),这就是隐函数(implicit function).
无论能否解出y=ƒ(x),y都是x的函数.
∴ y² + y = 3x^5 - 7x 的两边对x求导时,
左边是y的函数,y又是x的函数,结果是复合函数；
右边是x的函数,也是x的复合函数(composite function).
两边运用复合函数求导法(chain rule),得到：
2y(dy/dx) + dy/dx = 15x⁴- 7
∴ dy/dx = (15x⁴- 7)/(2y + 1)
【解说】
1、楼主问为什么乘dy/dx,这是因为两边最终都是x的函数,是对x求导,左边对y求导后,还不行,还必须继续求y对x的导数,这样才符合复合函数求导法.
至于右边乘以dx/dx,不能算错,是对的.不过有点画蛇添足、多此一举!如果楼主的老师每次都这样,那就说明,楼主的老师,数学思路比较慢,解题非常呆板,啰里啰唆,不得要领.这样的老师是教不好课的,学生会学得糊里糊涂.
如果楼主的老师只是偶尔为了强调,为了细说,写出dx/dx这种形式,那楼主的老师应该是概念清晰,能深入浅出,难能可贵的教师.
2、隐含数方程,通常是无法解出y=ƒ(x)这种显函数的形式的,隐含数求导法的好处是避免了这种为难情况：即使解不出y=ƒ(x),但照样求出dy/dx.
即使能够解出y=ƒ(x),有时也是不必要的,如本题,因为解出的结果不是一对一函数,二次方程的公式 [-b±√(b²-4ac)]/2a 中的±就决定了y有两个结果,求导后,就有两个导函数(平时简称为“导数”).隐含数求导法,也巧妙地避免了这种事情的发生,而将所有的可能结果都合并在一起了.
不知这样解释,有没有帮楼主解决了问题?如有进一步问题,请Hi我.

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