设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3•…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 01:43:11

设a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*）都是正数，且a₁a₂a_3^•…a_n⁼¹，试用数学归纳法证明：a₁+a₂+a_3⁺…+a_n≥n．

证明：①当n=1时，不等式成立
②假设当n=k-1时成立，则当n=k时，考虑等式a₁a₂a_3^•…•a_k=1
若a₁，a₂，a₃，…，a_k相同，则都为1，不等式得证
若a₁，a₂，a₃，…，a_k不全相同，则a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a₁为a₁，a₂，a₃，…，a_k的最大数，a₂为a₁，a₂，a₃，…，a_k的最小数．
则∵a₁a₂a_3^•…•a_k=1，∴最大数a₁≥1，最小数a₂≤1
现将a₁a₂看成一个数，利用归纳假设，有a₁a₂+a₃+…+a_k≥k-1…（1）
由于a₁≥1，a₂≤1，所以（a₁-1）（a₂-1）≤0
所以a₁a₂≤a₁+a₂-1…（2）
将（2）代入（1），得
（a₁+a₂-1）+a₃+…+a_k≥k-1，即a₁+a₂+a₃+…+a_k≥k
∴当n=k时，结论正确
综上可知，a₁+a₂+a₃+…+a_n≥n．

设a1，a2，a3，…，an（n∈N*）都是正数，且a1a2a3•…an=1，试用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+ 已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2^n 已知数列{An}满足A1=0.5,A1+A2+…+An=n^2An(n∈N*),试用数学归纳法证明:An=1/n(n+1 设a1,a2,a3.an都是正数,证明不等式(a1+a2+.+an)(1/a1+1/a2+.+1/an)≥n² 用数学归纳法证明:a1^2+a2^2+a3^2+``````+an^2>=1/n 设数列﹛an﹜满足a1＝1／2,a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an,用数学归纳法证明an＝1／[n﹙n＋1﹚ 设A1,A2,A3…,An是常数（n是大于1的整数,且A1 已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1 设a1,a2……an为正数, ,求证(a1a2)/a3+(a2a3)/a1 +(a3a1)/a2>=a1+a2+a3 已知数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+……+an=n^2an(n∈N*),试用数学归纳法证明:an=1/[n(n 用数学归纳法证明:(a1+a2+…+an)^2=a1^2+a2^2+…a3^3+2(a1a2+^ 设n为大于1的正整数,且存在a1a2……an,使得a1+a2+a3+……+an=a1a2a3……an=2005,求n的最