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已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 15:35:02
已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0
若存在常数c,使f(c/2)=0.求证:对于任意x属于R,有f(x+c)=-f(x)成立
已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0
令x=y=0,得2f(0)=2*[f(0)]^2 且f(0)不等于0
所以f(0)=1
令x=0 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),所以 f(x)为偶函数,从而
f(x+c)+f(x)=f(x+c)+f(-x)=2f(c/2)f(x+c/2)=0,
所以有f(x+c)=-f(x)成立