已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 05:54:25
已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.
(3)若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点,求b的取值范围.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值.
(3)若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点,求b的取值范围.
(1)由f(x)=x2+xsinx+cosx,
得f′(x)=2x+sinx+xcosx-sinx=x(2+cosx).…(1分)
令f′(x)=0,得x=0.…(2分)
列表如下:
…(4分)
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增,
∴f(0)=1是f(x)的最小值.…(5分)
(2)∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,
∴f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a),…(7分)
解得a=0,b=f(0)=1.…(9分)
(3)当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;
当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,
∴存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.…(12分)
由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,
∴当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.…(13分)
综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点,那么b取值范围是(1,+∞).…(14分)
得f′(x)=2x+sinx+xcosx-sinx=x(2+cosx).…(1分)
令f′(x)=0,得x=0.…(2分)
列表如下:
…(4分)
∴函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增,
∴f(0)=1是f(x)的最小值.…(5分)
(2)∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,
∴f′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a),…(7分)
解得a=0,b=f(0)=1.…(9分)
(3)当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;
当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,
∴存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.…(12分)
由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,
∴当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点.…(13分)
综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同交点,那么b取值范围是(1,+∞).…(14分)
已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
已知函数F(x)=x²+xsinx+cosx
已知函数fx=x^2+xsinx+cosx 求导
已知函数f(x)的一个原函数为cosx+xsinx,求积分∫[(x+f(x)]f'(x)dx.
若函数f(x)=xsinx+cosx,则f(1)=?
用matlab求函数f(x)=xsinx+cosx的极值和最值.坐等,
已知函数f(x)=xsinx ,x属于R,则f(5/π) ,f(1) ,f(-3/π)的大小关系为( ).
已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.
已知函数f(x)=xsinx,x∈R,f(-4),f(4π3
已知函数f(x)=-x2+2x.
已知函数f(x)=x2-2|x|.
已知函数f(x)=x2+2x.