已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 05:44:05
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
设F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=−
(2x+1)(ax−1)
x
当a≤0时,F′(x)≥0,F(x)单调递增,F(x)≤0不可能恒成立;
当a>0时,令F′(x)=0,得x=
1
a,x=−
1
2(舍去).
当0<x<
1
a时,F′(x)>0,函数单调递增;当x>
1
a时,F′(x)<0,函数单调递减;
故F(x)在(0,+∞)上的最大值是F(
1
a),依题意F(
1
a)≤0恒成立,
即ln
1
a+
1
a−1≤0恒成立,
∵gg(a)=ln
1
a+
1
a−1单调递减,且g(1)=0,
∴ln
1
a+
1
a−1≤0成立的充要条件是a≥1,
∴a的取值范围是[1,+∞).
故答案为:[1,+∞).
(2x+1)(ax−1)
x
当a≤0时,F′(x)≥0,F(x)单调递增,F(x)≤0不可能恒成立;
当a>0时,令F′(x)=0,得x=
1
a,x=−
1
2(舍去).
当0<x<
1
a时,F′(x)>0,函数单调递增;当x>
1
a时,F′(x)<0,函数单调递减;
故F(x)在(0,+∞)上的最大值是F(
1
a),依题意F(
1
a)≤0恒成立,
即ln
1
a+
1
a−1≤0恒成立,
∵gg(a)=ln
1
a+
1
a−1单调递减,且g(1)=0,
∴ln
1
a+
1
a−1≤0成立的充要条件是a≥1,
∴a的取值范围是[1,+∞).
故答案为:[1,+∞).
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
已知函数f(x)=3x2-2x+1,g(x)=ax2,对任意的正实数x,f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是_
已知函数f(x)=lnx-a/x,若f(x).>x^2在(1,+无穷)上恒成立,求a的取值范围
已知函数f(x)=lnx-a/x,若f(x)>x^2在(1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围.
已知函数f(x)=x2-x+alnx(x≥1),若f(x)≤x2恒成立,求实数a的取值范围?
已知函数f(x)=-x2+4x-10(x≤2),若f(1-2a)>f(a),则实数a的取值范围是______.
已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax^2+2x.若h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围
已知函数f(x)=x+a/x,g(x)=a-2x.若不等式f(x)≥g(x)在[1,﹢∞)上恒成立,试求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),若f(x)≤x^2恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=2x^2-2x+1,g(x)=ax^2,对任意的实数x,f(x)>=g(x)恒成立,则实数a的取值范围
已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且函数f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是______.
已知函数f(x)=x^2-ax,g(x)=lnx,若f(x)≥g(x)对于定义域内的x恒成立,求实数a的取值范围.