已知f(x)是定义域在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时有[f(a)+f(b)]/(a+b)
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 12:16:01
已知f(x)是定义域在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时有[f(a)+f(b)]/(a+b)>0.
若f(1)=1,f(x)≤m2-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1.1]恒成立,求实数m的取值范围.
(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
若f(1)=1,f(x)≤m2-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1.1]恒成立,求实数m的取值范围.
(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
∵f(1)=1 且f(x )在[-1,1]上为增函数,对x∈[-1,1],有f(x)≤f(1)=1.
由题意,对所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f(x)≤m2-2bm+1恒成立,
应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0. 记g(b)=-2mb+m2,对所有的b∈[-1,1],g(b)≥0成立.
只需g(b)在[-1,1]上的最小值不小于零…(8分)
若m>0时,g(b)=-2mb+m2是减函数,故在[-1,1]上,b=1时有最小值,
且[g(b)]最小值=g(1)=-2m+m2≥0⇒m≥2;
若m=0时,g(b)=0,这时[g(b)]最小值=0满足题设,故m=0适合题意;
若m<0时,g(b)=-2mb+m2是增函数,故在[-1,1]上,b=-1时有最小值,
且[g(b)]最小值=g(-1)=2m+m2≥0⇒m≤-2.
综上可知,符合条件的m的取值范围是:m∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
由题意,对所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f(x)≤m2-2bm+1恒成立,
应有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0. 记g(b)=-2mb+m2,对所有的b∈[-1,1],g(b)≥0成立.
只需g(b)在[-1,1]上的最小值不小于零…(8分)
若m>0时,g(b)=-2mb+m2是减函数,故在[-1,1]上,b=1时有最小值,
且[g(b)]最小值=g(1)=-2m+m2≥0⇒m≥2;
若m=0时,g(b)=0,这时[g(b)]最小值=0满足题设,故m=0适合题意;
若m<0时,g(b)=-2mb+m2是增函数,故在[-1,1]上,b=-1时有最小值,
且[g(b)]最小值=g(-1)=2m+m2≥0⇒m≤-2.
综上可知,符合条件的m的取值范围是:m∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
已知f(x)是定义域在[-1,1]上的奇函数,当a,b∈[-1,1],且a+b≠0时有[f(a)+f(b)]/(a+b)
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