求标准正态分布N（0,1）的特征函数.

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/30 12:21:18

求标准正态分布N（0,1）的特征函数.

这个是怎么算出来的啊,

C(u)=E(j*u*X)=1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)dx,直接积分较困难

由于d[e^(j*u*x-x²/2)]/dx=(j*u-x)*e^(j*u*x-x²/2),因此先考察下列积分：
1/√(2*π)∫{-∞,+∞}(j*u-x)*e^(j*u*x-x²/2)dx
=1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)d[e^(j*u*x-x²/2)]
=1/√(2*π)*e^(j*u*x-x²/2)|{-∞,+∞}
=1/√(2*π)*[cos(u*x)/e^(x²/2)+j*sin(u*x)/e^(x²/2)]| {-∞,+∞}
=0 ①
①式为零是因为有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量

而1/√(2*π)∫{-∞,+∞}j*u*e^(j*u*x-x²/2)dx
= j*u*1/√(2*π)∫{-∞,+∞}e^(j*u*x-x²/2)dx
= j*u*C(u) ②

注意到C(u)对u求导得
C’(u) =1/√(2*π)∫{-∞,+∞} j*x*e^(j*u*x-x²/2)dx,
故1/√(2*π)∫{-∞,+∞}x*e^(j*u*x-x²/2)dx
=(-j)*1/√(2*π)∫{-∞,+∞} j*x*e^(j*u*x-x²/2)dx
=(-j)*C’(u) ③

由①②③式得
j*u*C(u)+j*C’(u)=0,即
C’(u)+u*C(u)=0 ④
将微分方程④分离变量d[C(u)]/C(u)=-udu
两边积分lnC(u)=-1/2*u²+lnC
整理得C(u)=C*e^(-1/2*u²)
将初始条件C(0)=1代入上式得,C=1
故C(u)=e^(-1/2*u²)
再问：非常感谢您这么细心的推导，您是不是用LATEX的啊....大致看懂了，我再琢磨琢磨。再弱弱的问一句 1/e^(x²/2)| {-∞,+∞}为什么是无穷小量....这个结果不是无法确定么
再答：没有用LATEX,是文本输入 lim{x→+∞}1/e^(x²/2)=lim{x→-∞}1/e^(x²/2)=0 (分母无限大)

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