神马作文网已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 10:50:30
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
（1）若a=2,求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）当a＜0时,求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2-2x+2,若对任意x1∈（0,+∞）,均存在x2∈[0,1],使得f（x1）＜g（x2）,求a的取值范围
第三问为什么是f(x)的最大值
（1）若a=2,求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（2）当a＜0时,求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2-2x+2,若对任意x1∈（0,+∞）,均存在x2∈[0,1],使得f（x1）＜g（x2）,求a的取值范围
第三问为什么是f(x)的最大值
（1）由已知f′(x)=2+1/x (x＞0),
∴f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3．
（2）求导函数可得f′(x)=a+1/x=ax+1/x (x＞0)．
当a＜0时,由f'（x）=0,得x=-1/a ．
在区间(0,-1/a)上,f'（x）＞0；在区间(-1/a,+∞)上,f'（x）＜0,
所以,函数f（x）的单调递增区间为(0,-1/a),单调递减区间为(-1/a,+∞)
（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．
∵g（x）=x^2-2x+2=（x-1）2+1,x2∈[0,1],∴g（x）max=2
由（2）知,当a≥0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增,值域为R,故不符合题意．
当a＜0时,f（x）在(0,-1/a)上单调递增,在(-1/a,+∞)上单调递减,
故f（x）的极大值即为最大值,f(-1/a)=-1+ln(1/-a)=-1-ln(-a),
所以2＞-1-ln（-a）,所以ln（-a）＞-3,
解得a＜-1/e³．
好难输字啊,符号太多了,若不懂,
再问： 为什么是f(x)的最大值
∴f'（1）=2+1=3．
故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3．
（2）求导函数可得f′(x)=a+1/x=ax+1/x (x＞0)．
当a＜0时,由f'（x）=0,得x=-1/a ．
在区间(0,-1/a)上,f'（x）＞0；在区间(-1/a,+∞)上,f'（x）＜0,
所以,函数f（x）的单调递增区间为(0,-1/a),单调递减区间为(-1/a,+∞)
（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．
∵g（x）=x^2-2x+2=（x-1）2+1,x2∈[0,1],∴g（x）max=2
由（2）知,当a≥0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增,值域为R,故不符合题意．
当a＜0时,f（x）在(0,-1/a)上单调递增,在(-1/a,+∞)上单调递减,
故f（x）的极大值即为最大值,f(-1/a)=-1+ln(1/-a)=-1-ln(-a),
所以2＞-1-ln（-a）,所以ln（-a）＞-3,
解得a＜-1/e³．
好难输字啊,符号太多了,若不懂,
再问： 为什么是f(x)的最大值