在实数集R上定义运算:x⊗y=x(a-y)(a∈R,a为常数),若f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/07 12:28:48
在实数集R上定义运算:x⊗y=x(a-y)(a∈R,a为常数),若f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f(x)⊗g(x),
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
(I)由定义运算:x⊗y=x(a-y),得
F(x)=f(x)⊗g(x)
=f(x)⊗(a-g(x))
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex;
(II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),
又当x∈R时,F(x)在减函数,∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立,
即-ex(2x2+4x-a)≤0恒成立,
∵-ex<0,∴2x2+4x-a≥0恒成立,
∴△=16-8(-a)≤0,
∴a≤-2;
(III)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵F′(x)=-ex(2x2+4x+3)
=-ex[2(x+1)2+1]<0,
∴F′(x1)•F′(x2)>0,
∴F′(x1)•F′(x2)=-1 不成立.
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
F(x)=f(x)⊗g(x)
=f(x)⊗(a-g(x))
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex;
(II)∵F′(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a),
又当x∈R时,F(x)在减函数,∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立,
即-ex(2x2+4x-a)≤0恒成立,
∵-ex<0,∴2x2+4x-a≥0恒成立,
∴△=16-8(-a)≤0,
∴a≤-2;
(III)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵F′(x)=-ex(2x2+4x+3)
=-ex[2(x+1)2+1]<0,
∴F′(x1)•F′(x2)>0,
∴F′(x1)•F′(x2)=-1 不成立.
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.
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